今回は「連立方程式の解き方」について解説していきます。連立方程式は、中学2年生の数学で習う人が多いと思いますが、苦手な子が多いのではないでしょうか?

その理由の1つとして「連立方程式の利用などの文章問題」があります。私も文章問題が苦手だったので、速さや%が出てくる問題は大嫌いでしたね。

しかし、文章問題が苦手だったら、せめて計算だけでも得意になりましょう!連立方程式の計算は、高校数学でも使うことが多いので、これができないと高校でも困ります。

なので、個人的に「中学2年生の数学の主役は連立方程式だ!」と言ってもいいぐらい重要な分野だと思っています。

ということで、まず連立方程式の解き方がわからない子に向けて、一から丁寧に解説していきます。下の目次から、あなたのレベルに応じて、必要なところを読んでいってください。


【目次】

①連立方程式の解き方を解説する前に

②連立方程式とは?

③連立方程式の解き方(基本)

④連立方程式の解き方(加減法)

⑤連立方程式の解き方(代入法)

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【①連立方程式の解き方を解説する前に】

連立方程式の解き方を解説する前に、あなたは2x=6や2x-2=5などの方程式を簡単に解くことができますか?連立方程式を解くには、中学1年生で習った知識が絶対に必要です。

もし、これらの問題を解く自信がない人は、まず数学の計算問題!簡単な問題であなたも計算マスターになろう!の「式の値と代入」、「方程式の解き方」、「移項」などを復習してください。

「中1レベルなんて余裕だよ」っていう人は、次の連立方程式とは?を見てください。



【②連立方程式とは?】

連立方程式の解き方

突然ですが、クイズです。上の図1の式は、「☐と△を足すと5、☐と△を引くと1になる式」を意味しています。この☐と△に入る数字はそれぞれなんでしょうか?

☐や△に1や2などの数字を色々入れて考えてみると、☐=3、△=2ならどちらの式もぴったり合うのがわかりますか?

実はこのクイズのような問題が「連立方程式」なんです。このクイズを中学校の数学では、☐をx、△をyにして、図2のように、x+y=5、x-y=1と表します。

この図2のように、xとyを含む2つの方程式(=の入った式のこと)を「連立方程式」というんです。ちなみに、クイズの答えは、☐=3、△=2だったので、図2の答えは、x=3、y=2となります。

このx=3、y=2などの答えのことを数学では「解」と言いますので、この言葉も覚えておいてください。

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【③連立方程式の解き方(基本)】

例1 下の2つの式の左辺同士と右辺同士を足して、xとyを求めてみよう。

連立方程式 解き方

連立方程式を解くときに、画像のような2つの式の足し算をよくします。この計算のやり方は、「①と②の式の左辺同士を足して、①と②の式の右辺同士を足せばよい」ということを覚えてください。

ということで、左辺は (2x+4y)+(3x-4y)をすることになります。これを計算すると、(2x+4y)+(3x-4y)=2x+4y+3x-4y=5xですね。

なので、画像のように、左辺は5xが残ることがわかります。一方、右辺は9+1なので、右辺は10と書くことになります。

これで5x=10となったので、x=2となります。ここは、中学1年生で習った方程式です。5x=10から、なぜx=2になるのがわからない人は数学の計算問題!簡単な問題であなたも計算マスターになろう!を復習してください。

さて、最後にyを出すのですが、これは先ほど出したx=2を①か②の式のxに代入すればOKです。この問題の場合は②の式に代入したほうが簡単そうなので、②の式のxに2を代入します。

すると、y=5/4(4分の5)となるので、解はx=2、y=5/4ということがわかって終了です。



例2 下の2つの式の左辺同士と右辺同士を引いて、xとyを求めてみよう。

連立方程式、解き方

では、次は引き算をやってみましょう。引き算も足し算のときと同じで、「①と②の式の左辺同士を引いて、①と②の式の右辺同士を引けばよい」だけです。

よって、左辺は (2x-y)+(3x-y) を計算することになります。これを計算すると、(2x-y)-(3x-y)=2x-y-3x+y=-xですね。-(3x-y)のカッコの外し方に注意しましょう。

これで、左辺は-xが残ります。また、右辺は1-5なので、右辺は-4です。これで-x=-4となったので、x=4ですね。

あとは、x=4を①か②の式のxに代入すればOKです。①のxでも②のxでもいいですが、①の式に代入したほうが簡単そうなので、①の式のxに4を代入します。

すると、y=7となるので、解はx=4、y=7ですね。



【④連立方程式の解き方(加減法)】

上の基本は理解できましたか?理解できたなら、いよいよ連立方程式の解き方のコツを解説していきましょう。連立方程式の解き方のコツは、たった2つのことを覚えるだけです。


コツ1  xかyの前の数字が同じときは、引く。+と-が逆の場合は足す。

コツ2  xかyの前の数字が同じでない場合は両辺に2や3などをかけて同じにする。


です。このコツがどういう意味なのか例題を使って解説していきます。


例3 下の連立方程式を解いて、xとyを求めてみよう。

連立方程式の問題

コツ1 xかyの前の数字が同じときは、引く。+と-が逆の場合は足す。

まずコツ1の解説をしていきます。この連立方程式のyの前の数字に注目してください。+4-4ということで、が逆になっていますね。

コツ1に書いたように、yの前の数字が+4-4の逆になっているので、2つの式を足せば、この連立方程式を解くことができます。あとは、上でやった例1と同じ問題となります。



例4 下の連立方程式を解いて、xとyを求めてみよう。

連立方程式 問題

コツ1についてもう少し解説していきます。この連立方程式のyの前の数字に注目してください。どちらの式も-1になっていますね。なお、-yのyの前には、数字の-1が隠れています。

数学では-1yと書かずに、-yと書きます。ということで、yの前の数字は-1-1で同じになっているのがわかります。

よって、コツ1で書いたように、yの前の数字が同じ-1なので、2つの式を引けば、この連立方程式を解くことができます。あとは、上でやった例2と同じ問題となります。



例5 下の連立方程式を解いて、xとyを求めてみよう。

連立方程式、問題

コツ2  xかyの前の数字が同じでない場合は両辺に2や3などをかけて同じにする。

それでは、最後のコツ2の解説です。例5の連立方程式は、xもyも前の数字が例3や例4のように同じではないので、自分で両辺に2や3などをかけて同じにしないといけません。

では、何をかければいいかというと、①の両辺に2をかけてみましょう。すると、(-2x+y)×2=5×2で-4x+2y=10 …③ となります。ここで、③と②のyの前の数字に注目すると、+2+2で同じになりました。

これでコツ1が使えます。コツ1で書いたように、yの前の数字が同じ+2なので、③と②の2つの式を引けば、この連立方程式を解くことができます。

左辺は-4x+2y-(3x+2y)=-7xです。右辺は10-(-4)=14ですね。後は、例3と例4のようにしていけばOKです。

この例5のように、xかyの前の数字が同じでないときは、①か②の両辺に2や3などの数字をかけて、xかyの数字を同じにすることがポイントなんですね。



例6 下の連立方程式を解いて、xとyを求めてみよう。

加減法

この問題もxとyの前の数字が同じではないので、自分で両辺に2などの数字をかけて、コツ1が使えるようにします。何をかけるべきかは、①と②の式のxやyの前の数字をよく見る必要があります。

②の式のyの前の数字は+4なので、①の両辺に2をかければ、コツ1が使えることがわかりますか?①の両辺に2をかけると、(3x-2y)×2=-8×2で、6x-4y=-16 …③ となりますね。

これで、③と②のyの前の数字は、-4+4の符号が逆の関係になったのでコツ1が使えます。コツ1により、符号が逆の場合は、2つの式を足せばよかったんですね。

③と②の式を足すと、左辺は6x-4y+(7x+4y)=13xです。右辺は-16+(-10)=-26ですね。後の計算は、画像を参考にしてください。



例7 下の連立方程式を解いて、xとyを求めてみよう。

加減法のやり方

例5や例6でコツ2の意味を理解していただけましたか?例5や例6では、片方の式に2をかければコツ1を使えましたが、この例7の問題は、片方の式に数をかけてもコツ1が使えそうにありません。

なので、このような問題は、①と②の両方の式にある数をかけて、xやyの前の数字をそろえてみましょう。

xでもyでもどちらの前の数字をそろえてもいいのですが、yの前の数字をそろえてみましょう。①の式のyの前の数字は6(-は無視してもよい)、②の式のyの前の数字は4ですね。

6と4のそれぞれの数に何かの数字をかけて同じにしたいのですが、6には何を、4には何をかければ同じ数字になるかわかりますか?

答えは6には2、4には3をかければどちらも12にすることができます。ということで、①の両辺に2をかけると、(5x-6y)×2=16×2で、10x-12y=32 …③ です。

また、②の両辺に3をかけると、(3x+4y)×3=2×3で、9x+12y=6 …④ ですね。

これで、③と④のyの前の数字は、-12+12の符号が逆の関係になったのでコツ1が使えます。符号が逆の場合は、2つの式を足す!これでOK。


例3~例7まで、連立方程式の解き方を解説してきましたが、少しは理解できましたか?連立方程式を解くには、xかyの前の数字をそろえて、足したり引いたりすることでxやyを消すことが大切です。

ちなみに、2つの式を足したり引いたりして、xやyを消す方法を「加減法」といいます。加減法が理解出来たら、次は代入法です。引き続き学習したい人は、代入法のやり方!連立方程式の問題で役に立つ解き方だぞ!へどうぞ!

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