数と式」は数学Ⅰの分野で、多くの高校生が一番最初に習います。内容は中学で習った展開や因数分解の計算などがあり、中学レベルを応用した内容となっています。

今回は、この「数と式」に関する定理・公式や問題の解き方を非常に簡単な例を使って解説していきます。高校に入って一番最初に習う大切な分野なので、皆さん頑張っていきましょう!

なお、「この問題の解説がもっとほしい!」とか「この問題の答えは間違いじゃないの?」という意見があれば、ぜひコメント欄にご意見いただけたらと思います。

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【単項式、多項式、係数、次数、定数項】

数と式

【この問題の補足解説】

1) 
-2x、1、-yのような式が一つだけのものを単項式といいます。一方、②のa+bや⑤のx-2xのような〇+△の形、つまり単項式が2つ以上ある式を多項式といいます。


2)の①~③ 
xに着目したときの係数を求めたいときは、x以外の数や文字を答えればOKです。x以外の数や文字は、-4aですね。

② 
xに着目したときの次数を求めたいときは、xが何個あるかを聞いています。xはxが4個あるので、次数は4です。

③ 
xとyに着目したときの係数を求めたいときは、xとy以外の数や文字を答えればOKです。xとy以外の数や文字は、-4aですね。

④ 
xとyに着目したときの次数を求めたいときは、xとyが何個あるかを聞いています。xはxが4個、yが3個で合計7個あるので、次数は7です。


3)の①② 
-3x+ax+5のような多項式の次数は一番大きい次数を答えます。xに着目したときは、-3xの次数が2で一番大きいので、2次式になります。一方、aに着目した場合は、axの次数が1で一番大きいので、1次式になります。


aとxに着目した場合は、-3xもaxもどちらも次数が2と同じなので、2次式となります。

④⑤⑥
xに着目したときの定数項は、xのついていない単項式を言えばいいだけです。-3x+ax+5でxがついていないのは、+5だけなので、定数項は5です。

aに着目した場合は、aとxのついていない単項式を言えばいいので、-3x+ax+5でaがついていないのは、-3x+5なので、定数項は-3x+5です。

aとxに着目したときの定数項は、xのついていない単項式を言えばいいので、-3x+ax+5でaとxがついていないのは、+5だけですね。



【降べきの順、指数法則】

数と式の計算

【この問題の補足解説】

4)
降べきの順は、次数を大きい方から小さい方へ並べることをいいます。例えば、2x+x-4x+7を降べきの順にすると、x-4x+2x+7となり、xの次数を3→2→1→0という感じで小さくしていけばOKです。


5)の④⑦
・aと(aの計算は非常に間違えやすいので注意しましょう。a・aの計算は、「mとnを足します」、(aの計算は「mとnを掛けます」ので、この違いをしっかり覚えておきましょう!



【展開の公式】

数と式、展開

【この問題の補足解説】

ここの公式はすべて中学校で習った展開の公式です。展開は高校でも非常にすることが多いので、まずは中学レベルの展開公式を使いこなせるようにしておきましょう。



【3乗の展開公式、(a+b+c)の公式】

数と式、展開公式
【この問題の補足解説】

⑤~⑩
3乗の展開公式や(a+b+c)の展開公式から高校レベルとなります。(a+b)=a+3ab+3ab+bてすが、特に3ab+3abの部分が忘れやすく、計算ミスが多くなるので注意しましょう。



【因数分解の公式】

数と式、因数分解

【この問題の補足解説】

展開の後には、因数分解を習います。高校でも中学校で習った因数分解を復習しますので、もしわからない人は因数分解の解き方や問題!中学3年生の方は、必見!を確認してみてください。



【たすきがけ、3乗の因数分解の公式】

数と式 因数分解

【この問題の補足解説】

①~③
ここからの因数分解は高校レベルとなります。たすきがけを使った因数分解はなかなか難しいので、やり方がわからない人はたすきがけのやり方!これで因数分解ができまくる!を見てください。


④~⑪
3乗の因数分解の公式は非常に覚えにくい公式です。しかし、この公式は数学で非常に使うことが多いので、しっかり覚えておきましょう。特に+や-の符号ミスなどに注意しましょう。



【a+bやa+bの式変形】

数と式、定理、公式

【この問題の補足解説】

+bやa+bの式変形を使うことがよくあります。ちなみに、上の問題9)でやったように、④のa+bは、a+b=(a+b)(a-ab+b)、⑥のa-b=(a-b)(a+ab+b)のように、因数分解することも可能なので、どちらかは確実に覚えておきましょう。

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