三重の家庭教師です。今回は、「数学公式などの裏技」を紹介します。数学の問題を解く際に、下の公式などを暗記しておくと、非常に便利な時があります。例えば、円錐の表面積の問題を皆さんは解くことができますか?

円錐の表面積は、中学1年生の「空間図形」という分野で習うのですが、私も苦手な分野でしたし、数学が苦手な子からしたら、円錐の表面積を出せない人は、非常に多いと思います。

しかし、算数や数学が苦手な子でも、以下で紹介する裏技公式の一覧を知っていれば、

数学、裏技
楽勝かつ簡単に問題を解けることがあるんです!

なので、中学生や、高校生の方、センター試験を受けて、大学を目指される方は、ぜひ見ていってください。

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これから、裏技を少しずつ増やしていきますので、下の一覧で、興味のある裏技をクリックしてください。(iPhoneやスマートフォンの方は、クリックしてもジャンプしないことがありますので、お手数ですが、スライドさせて見てください。)


数学のグラフ一覧!中学で習うグラフをまとめました!!NEW

ひっかけ問題!難問もあるので、繰り返しやってみよう! NEW



【全学年向け】
図形の公式一覧  オススメ!

円錐の側面積を出す公式
円錐の側面積の中心角を出す公式
0を作って楽に計算する

同じ数の掛け算
計算ミスに気付いたり、計算ミスを防ぐ裏技
11の掛け算を出す公式

通分ができなくても、分数の足し算や引き算ができる裏技  
図形の公式を少しだけ覚えやすくする裏技  
分子と分母の位置を覚えやすくする裏技  

時速〇kmを秒速△mに変換する裏技 


【中学生以上向け】
因数分解の解き方やパターン一覧  
二次方程式の解き方。この計算だけは解けるようになっておこう。

ほとんどのグラフが書ける裏技
y=ax+bのグラフが速攻に書ける裏技

y=ax+bの変化の割合を求める公式
y=axの変化の割合を求める公式
ax+bx+c=0の解xを簡単に出す裏技公式  オススメ!  

サイコロ2個の確率問題を簡単に解く裏技 
球の表面積と体積の公式を覚えやすくする裏技  


【高校生以上向け】
たすきがけのやり方!これで因数分解ができまくる!  

十分条件、必要条件の覚え方の裏技
加法定理を簡単に覚えられる裏技   
正四面体の体積や高さをすぐに出せる裏技公式  


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化学反応式の作り方や覚え方!中学生でも簡単に書ける方法!
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センター試験の裏技!誰でも簡単に使える方法!!
 
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■円錐の側面積を出す公式(全学年向け)
問題:下の左図の円錐の表面積を求めよう。
円錐、数学円錐、展開図
円錐の表面積を出すには、円錐の側面積と底面積を出して、足さないといけません。普通は、右図のように、円錐を展開した図で考え、扇形の中心角を求めて、それから側面積を出します。

でもこの解き方は、色々な計算をしないといけないので、結構時間がかかります。さらに、算数や数学が苦手な子の場合、まず中心角を出すことが難しいと思います。

しかし、下の裏技公式を知っていれば、速攻で側面積が出せます!慣れれば、5秒ぐらいで出せます。

★裏技公式  円錐の側面積 = 母線 × 半径 × π(円周率3.14)

円錐の母線と円の半径と円周率πをかけたらいいだけです。では、この公式を使ってみます。

【小学生向け解答】
図から、母線=6円の半径=3なので、上の公式を利用すると、
円錐の側面積 = 母線 × 半径 × 3.14 =× × 3.14 = 56.52

円錐の底面積 = 3 × 3 × 3.14 = 28.26

円錐の表面積 = 側面積 + 底面積 = 56.52 + 28.26 = 84.78(cm2 ) 

【中学生、高校生向け解答】
図から、母線=6円の半径=3なので、上の公式を利用すると、
円錐の側面積 = 母線 × 半径 × π = × × π = 18π

円錐の底面積 = 3 × 3 × π = 9π

円錐の表面積 = 側面積 + 底面積 = 18π + 9π = 27π(cm2 ) 

要するに、6×3×πをするだけで、側面積が出るので、覚えておいて損はない裏技公式だと思います。


■円錐の側面積の中心角を出す公式(全学年向け)
上の問題で、楽な公式を紹介しましたが、問題によっては、円錐の側面積である「扇形の中心角を出せ」と指定してくる問題もあります。そこで、その中心角を簡単に出す公式も紹介しておきます。

★裏技公式  円錐の側面積の中心角 = 360° × 半径 ÷ 母線

円錐の半径と360°をかけて、母線で割ればいいだけです。では、この公式を使ってみます。

【解答】
図から、母線=6円の半径=3なので、上の公式を利用すると、
円錐の側面積の中心角 = 360° × 半径 ÷ 母線 = 360° × ÷ 180°  


■0を作って楽に計算する(全学年向け)
数学裏技公式
上の画像は、「めちゃ×2イケてる!」のテスト企画で出題された問題です。皆さんなら、上の問題をどのように解きますか。AKBの皆さんが、なかなか面白い解答をしていますので紹介します。まず、AKBの渡辺麻友さんの解答です。

【AKBの渡辺麻友さんの解答】
数学公式裏技
渡辺麻友さんの解き方は、左から順番に解いていく、素直な解き方です。見てもらえばわかると思いますが、左から順に解いていくと、結構計算が面倒くさそうな解き方だと思います。

しかし、最終的に計算結果が合っていますので、これはこれで、彼女の頑張りを評価したい解答だと思います。まさに根性で正解までたどりついた解答ですね。では、次にAKBの小嶋陽菜さんの解答です。

【AKBの小嶋陽菜さんの解答】
裏技公式数学
小嶋陽菜さんの解答は、前の数字と後ろの数字を足し合わせて、「100」を作るうまい計算です。おしいことに、最終的には、95を足し忘れて間違っていますが、100が作れることに気づくと一気に計算が簡単になります。

算数や数学の計算では、小嶋さんのように、左から順に計算ぜず、100などの0を作れるペアから計算することが大切です。また、渡辺さんのように、面倒くさそうな計算でも頑張って解こうとする根性も大切だと個人的に思います。

このように、0が入っている数字は、計算しやすいとても便利な数です。一見、計算が大変面倒そうに見える以下の足し算の問題も、0をうまくつくることで楽に計算できます。つまり、速算術というものです。

★裏技  73 + 99 = 73 + 100 - 1 = 173 - 1 = 172
       87 + 97 = 87 +
100 - 3 = 187 - 3 = 184
      327 + 497 = 327+ 500 - 3 = 827 - 3 = 824

99、97、497など、0を作りやすいような数が出てきたら、筆算で解くよりも、上のように、0を作る式変形をして解いたほうが楽だと思いませんか?引き算においても、次のように、0を含む数を作ることで、計算しやすくなることがあります。

★裏技  573 - 99 = 573 - 100 + 1 = 473 + 1 = 474
       187 - 97 = 187 -
100 + 3 =  87 + 3 = 90
     
       325 - 297 = 325 -
300 +3 =  25 +3 = 28
       382 -  87 = 382 -  82 -5 = 300 -5 = 295

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■同じ数の掛け算(全学年向け)
11以上の同じ数の掛け算は、よく出てくるので、暗記しておいた方がよいと思います。できれば、16ぐらいまで暗記しておくとよいでしょう。

★小技  11×11=11121    12×12=12144
       13×13=13169    14×14=14196
       15×15=15225    16×16=16256

一の位は、簡単に暗算で出せます。なぜなら、一の位同士の掛け算をすればよいだけだからです。例えば、14×14なら、一の位が4なので、4×4=1で一の位は、になるとすぐわかります。

なので、一の位は、暗記しなくてもよく、百の位と、十の位だけ暗記すればOKです。なお、13×13と14×14は十の位と一の位が逆なだけなので、まずセットで覚えるとよいと思います。


■図形の公式を少しだけ覚えやすくする裏技(全学年向け)
数学 公式
図形の公式を皆さんは即答できますか。特に、円の円周、円の面積、球の表面積、球の体積の公式は、非常によく似ているので、「ややこしくて覚えにくい、覚えられない!」と思っている人も多いと思います。

私も、小学生の頃は、円周の公式と円の面積の公式を逆に覚えてしまったり、どっちの公式かよくわからなくなることが多々ありました。

指導をしていても、「直径×円周率」と「半径×半径×円周率」は覚えているのに、どちらが円周の公式で、円の面積の公式なのかあやふやにしている子もいます。そこで、図形の公式を少しだけ覚えやすくすることができる裏技を紹介します。

★裏技  面積なら、長さを2回かける!体積なら、長さを3回かける!

例えば、長さの代表的な単位としてcmがありますね。そして、面積の代表的な単位として、cmがありますよね。これは、「へいほうセンチメートル」と言って、cmを2回かけていることを意味します。

つまり、cm = cm × cm なんです。cm × cm は、長さを2回かけるということを意味するので、面積を出すときには、長さを2回かける必要があるんです。

同様に、体積の代表的な単位として、cmがありますよね。これは、「りっぽうセンチメートル」と言って、cmを3回かけていることを意味します。つまり、cm = cm × cm × cm なんです。

cm × cm × cmは、長さを3回かけるということを意味するので、体積を出すときには、長さを3回かける必要があるんです。これらのことを意識して、下の公式を見てください。(半径の長さはcmとしておきます。)

円の円周(cm)= 直径 × 円周率
円の面積(cm)= 半径 × 半径 × 円周率
球の表面積(cm)= 4 × 半径 × 半径 × 円周率
球の体積(cm)= 4/3 × 半径 × 半径 × 半径 × 円周率  (4/3は、「3分の4」のことです。)

円の円周なら、円周の単位はcmなので、長さである直径を1回かけるだけです。円の面積や球の表面積なら、面積の単位はcmなので、長さである半径を2回かけています。球の体積なら、体積の単位はcmなので、長さである半径を3回かけているのがわかると思います。

このように、単位の意味を理解しておくと、円の円周や円の面積の公式を逆に覚えてしまったり、半径のかける回数を間違えるミスは防ぐことができると思います。面積や体積の公式を覚えるときは、少なくとも長さを何回かけないといけないのかを意識しておくと覚えやすくなると思います。


■球の表面積と体積の公式を覚えやすくする裏技(中学生以上向け)
数学 公式
図形の公式は、図形の公式一覧!図形の面積と体積はこれでバッチリ!にまとめましたが、覚えるのに苦労されている方も多いでしょう。少しでも公式の暗記を楽にするため、球の表面積と体積を覚えやすくする裏技を紹介します。

★裏技  球の表面積  「しんぱいあるある」
         球の体積  「みのうえにしんぱいあるさ」

球の表面積の公式は4πrで「よんぱいあーるじじょう」と習った方もいると思います。πは円周率、rは半径を意味します。なお、半径は英語で「radius」と書くので、頭文字のrが半径の意味で使われることが多いです。  

数学 公式

「心配あるある?」や「身の上に心配あるさ?」だけでは、何のことかわからないと思いますが、上の画像を見ていただけたら、その意味がわかると思います。

「あるある」は、「r」を意味します。「みのうえにしんぱい」は「3の上に4π」を表し、「あるさ」は「r」を意味します。球の表面積、体積の公式を暗記するのに苦労されている方は、この語呂合わせを参考にしてください。


■ほとんどのグラフが書ける裏技(中学生以上向け)
早速ですが、質問です。もしこの記事を見ている方が、中学生の方なら、y=-xやy=x、高校生の方なら、y=xのグラフを書けますか?「そんなの、習っていないから無理」という感じでしょうか!?

グラフを書くのが、苦手な子も多いと思います。ところが、「全くグラフが書けない!」という人でも、ある程度の基礎計算ができる人なら、下の裏技で、ほとんどのグラフが書けます!

★裏技  グラフは、「点の集合」と意識し、xy表を作って、点を打ち込む。

裏技というほどのことでもありません。なぜなら、この方法は、中学1年生のときに、必ず習っている方法だからです。しかし、学年が上がるにつれて、別の書き方を習うので、忘れてしまっている人が多いようです。

もう一度言いますが、「この裏技で、絶対にグラフが書けます!」ので、ぜひマスターしてください。では、y=x+3のグラフを例に、その手順を説明します。


例1: y=x+3のグラフを書いてみよう。

①下のようなxy表を作る。xは-3~3となっていますが、-4~4や-5~5などでもOKです。 -5~5のように、xの値が多くなればなるほど、正確なグラフが書けます。
数学 公式 裏技

②y=x+3のxに-3~3の値をそれぞれ代入し、yの値を出す。例えば、x=0なら、y=0+3となり、y=3となる。x=-2なら、y=-2+3となり、y=1となる。同様に、計算して表を完成させると下のようになります。
数学の公式 裏技

③表を参考に、座標に点を打ち込む。例えば、x=3のとき、y=6なので、点(3、6)に点を打ちます。他にもxが-3~3までのyの値と対応するように点を打ちます。
数学 公式 裏技

④打ち込んだ7つの座標点から、グラフを推測する。点の集合の規則性から、グラフは右図のように、直線になるということがわかり、これでグラフの完成です。


このように、グラフは規則的な点の集合でできているので、表を作って計算さえできれば、必ず書けます。中学生の子でも、高校で習うようなy=xも書けるんです。

例2: y=xのグラフを書いてみよう。

①下のようなxy表を作る。今回は、xが3/2=1.5(二分の三)などの分数も入れています。
数学の公式 グラフ裏技

②y=xのxに-2~2の値をそれぞれ代入し、yの値を出す。例えば、x=2なら、y=2となり、y=8となる。また、x=-3/2=1.5 なら、y=(-3/2)となり、y=-27/8(約-3.4)となる。このように、計算して上の表を完成させると下のようになります。
数学グラフ裏技

③表を参考に、座標に点を打ち込んでいく。例えば、x=2のとき、y=8なので、点(2、8)に点を打ちます。他にもxが-2~2までのyの値と対応するように点を打ちます。
数学の公式 裏技

「グラフは、規則的な点の集合で、できている」という意味がわかりましたか?表を完成するのに、少し時間がかかるのが、欠点ですが、この方法で、ほとんどのグラフが書けます。

例えば、高校生の方なら、y=2、y=sinx、y=logxなどのグラフも書けます。グラフの苦手な子でも「自分は、高校で習うような、y=xやy=xが書けるんだ!」という気になれれば、少しはグラフに対する自信がつきませんか?


■y=ax+bのグラフが速攻に書ける裏技(中学生以上向け)
「ほとんどのグラフは、点の集合なので、xy表を作れば、絶対書ける」と先ほど説明しました。しかし、この方法は、どうしても時間がかかる欠点があります。

なので、今回は、y=-2x+4などのy=ax+bのグラフを速攻に書く裏技を紹介します。2つ裏技がありますので、自分に合った裏技を選んでいただけたらと思います。

★裏技  ①切片の値をy軸に打つ。 ②xに0以外の値を代入してyを出す。

例1: y=-2x+4のグラフを書いてみよう。

①切片の値をy軸に打つ。
切片はy=ax+の値のことです。つまり、y=-2x+のグラフの切片はとなるので、y軸ののところに点を打ちます。座標で言うと(0、4)です。つまり、下図の赤い点です。

数学 公式

②xに0以外の値を代入してyを出す。
例えば、y=-2x+4のxに、x=3を代入してみましょう。y=-2×3+4=-6+4=-2となり、x=3のとき、y=-2なので、(3、-2)に点を打ち込みます。後は、打ち込んだ2点を結んで、グラフの完成です!


では、y=ax+bの直線が簡単に書ける別の裏技を紹介します。

★裏技  ①切片の値をy軸に打つ。 ②傾きの値の分子と分母に注目する。

例2: y=-2/3x+4のグラフを書いてみよう。(2/3は「3分の2」のことです。)

①切片の値をy軸に打つ。
ここの部分は先ほどと同じです。切片はy=ax+の値のことです。つまり、y=-2/3x+のグラフの切片はとなるので、y軸ののところに点を打ちます。座標で言うと(0、4)です。

②傾きの値の分母と分子に注目する。
傾きはy=x+bのの値のことです。つまり、y==-2/3x+4のグラフの傾きは-2/3となります。この傾き-2/分母は3で、分子は-2です。実は、これで点の集まり方がわかります。

どういうことかというと、「ある点からx方向に3進みy方向に-2進んだところに、点が集まる」規則があるんです。下図を見てください。

数学 公式 裏技

ある点からある点へ、分母の3だけ→に進み分子の-2だけ↓に進んだところに点が集まってきているのがわかりますか。例えば、切片の点(0、4)から、x方向に3進みy方向に-2進んだところにある点(3、2)に点が集まっていることがわかると思います。

同様に点(3、2)から、x方向に3進みy方向にー2進んだところにある(6、0)にも点が集まります。この裏技を使えば、図のように、すぐに色々な点が集まるので、直線のグラフが書きやすいと思います。

なお、例1で書いたようなy=-2x+4や、y=3x-2のグラフを書くとき、傾きの分母と分子をどのように考えればよいかわからない人もいると思います。傾きが、-2や3のような場合は分母を1にして考えます。

傾き-2=-2/ (分の-2と考える。つまり、分母が1で、分子は-2

傾き 3=/  (分のと考える。つまり、分母が1で、分子は3

グラフにすると、以下のようになります。

数学 中学 裏技


■y=ax+bの変化の割合を求める公式(中学生以上向け)
この裏技公式を知っていると、y=ax+bのような一次関数の変化の割合は、本当に簡単に求められます。その時間わずか1秒!。あまりにも簡単に出せる裏技公式なので、知っている人も多いと思います。

★裏技公式  y=x+b(一次関数)の変化の割合は、常にの値。

例1: 一次関数y=-2x+4の変化の割合を求めよう。

y=ax+b(一次関数)の変化の割合は、裏技公式にあるように、y=x+bのの値のことです。つまり、y==-2x+4の変化の割合は、-2となります。簡単に言うと、xの前にある数字-2を言えば終わりです。結局、「傾き」を求めることと同じです。


例2: 一次関数y=3x-4のxの値が-3からー1まで増加するときの変化の割合を求めよう。

問題によっては、「xの値が〇から△に増加するときの変化の割合を求めなさい」と聞いてくることがあります。しかし、xの値が☐から△にどのように増加しようが関係ありません。

一次関数y=x+bなら、変化の割合は、常にの値です。y=x-4の変化の割合は、です。xの値が-3からー1まで増加するなどと書いてありますが、変化の割合を出すのに、xの増加量は関係ないんです。

なので、一次関数y=3x-4のxの値が-3からー1まで増加するときの変化の割合はです。


■y=axの変化の割合を求める公式(中学生以上向け)
上では、y=ax+bの変化の割合を求める裏技公式を紹介しましたが、今回はy=axの変化の割合を簡単に求められる裏技公式を紹介します。

★裏技公式  y=のxの値がから△まで増加するとき、
         変化の割合=×(+△)


例: y=-2xについて、xの値が-5から-2まで増加するときの変化の割合を求めよう。

y=から△までの変化の割合は、裏技公式にあるように、x(+△)です。つまり、y=-2
xの値が-5から-2まで増加するときの変化の割合を求めたいので、

変化の割合=-2×{-5+(-2)}=-2×(-7)=14 となります。


■計算ミスに気付いたり、計算ミスを防ぐ裏技(全学年向け)
計算ミスをしたことは、誰もがあると思います。その計算ミスに気付いたり、できる限り防ぐことができる裏技をいくつか紹介します。

★裏技  答えが、複雑な値になったときは、計算ミスを疑う。

下の画像を見てください。この画像は、「めちゃ×2イケてる!」のテスト企画で、江頭2:50さん(通称、エガちゃん)の答案用紙です。見てわかるように、答えが、分数と少数が混じって、かなり複雑な値になっていることがわかります。

数学 裏技

もし、自分の答えが、このように分数などの複雑な値になった場合は、「どこかで計算ミスをしていないか!?」と、疑う癖をつけましょう。特に、中学2年生で習う連立方程式のxやyの答えを出すときは、この裏技は有効です。

なぜなら、中学二年生で出題される連立方程式のほとんどの計算問題は、xとyの答えが分数にならず、整数になることが圧倒的に多いからです。もちろん、xとyの答えが分数になるときもありますが、xとyの答えが分数などの複雑な値になったときは、「計算ミスをしていないか?」少し疑ってみる価値はあると思います。

では、もう一つの計算ミスを防ぐ裏技を紹介します。

★裏技  文章題の答えは、常識の範囲の答えを出す。

皆さんは、文章題の問題などで、自分の答えが極端に大きな値になったり、逆に小さな値になったりした経験はありませんか?文章問題は、苦手な人も多いと思うので、下の画像のようなありえない答えを書いてしまう人もいると思います。

公式、裏技

画像の答えは、1秒間に9億7200万m進むとなっていますが、明らかに速すぎるということがわかります。
ちなみに、この答えだと新幹線が1秒間に地球を約24周してしまいます。

数学、裏技

この答えは、「なし1個の値段が2円」となっています。「どこに売ってんねん!」と突っ込みたくなるような答えですね。少し冷静な判断ができれば、「この答えは、おかしい」と気づくことができるはずです。

上の2つの例は、少し極端するぎる例かもしれませんが、文章題の答えは、聞かれていないことを書いてしまったり、常識ではあり得ないような答えを無意識に書いてしまうことがあります。試験中なら、なおさらです。

当たり前ですが、問題文をよく読み、答えを出したら、自分の答えが「問題文の条件にある程度合っているか」を確認することが大切となってきます。


■ax+bx+c=0の解xを簡単に出す裏技公式(中学生以上向け)
中学3年生に習う解の公式の裏技です。この裏技公式を使うと、通常の解の公式より簡単に解を出すことができます。高校生で習う数学IAⅡBⅢでは、かなりの利用価値があるので、ぜひ使いこなせるようにしておきたい裏技です。

数学、裏技

ただし、この裏技公式は、x+2x-4=0や2x-4x+1=0のように、bの値が2や-4などの偶数のときのみ使えます。+x-4=0や2x-33x-1=0のように、bの値が1や-3などの奇数のときは使えませんので、注意してください。

それでは、通常の解の公式と裏技公式の違いを比べながら、下の問題を解いてみます。

例1: x+2x-4=0を解いてみよう。
裏技公式

通常の公式と、裏技公式の違う点は3つあり、①分母がa、②bが半分、③ルートの中がacになっているところです。それでは、もう一つの問題を紹介します。

例2: 2x-4x+1=0を解いてみよう。
数学、裏技

2つの例を紹介しましたが、違いがわかりましたでしょうか?少なくとも、裏技公式の方を使いこなせれば、計算が楽なことは明らかだと思います。

しかし、使いこなせるまでは、かなりの練習がいりますし、「通常の公式と似ているので、覚えにくい!」と思う方もいるかもしれません。もちろん、そのように思う方は、通常の解の公式のみ知っておけば大丈夫です。

ただ、少しでも「計算を楽にしたい!」と思う方や、センター試験を受けられるような方は、絶対覚えておいた方が良い裏技公式だと個人的には思います。


■十分条件、必要条件の覚え方の裏技(高校生以上向け)
必要条件、十分条件は、センター試験で必ず出題される重要な分野です。しかし、必要条件、十分条件を理解するのに苦労している人もいると思います。

「pはqであるための何条件なのか」を聞かれることが多いのですが、pがどちらの条件なのか迷ってしまうこともあると思います。そこで、下の裏技を覚えておいてください。

★裏技  チワワという条件は、犬だと「十分」にわかる!

最低でも、pはqであるための十分条件なのか必要条件なのかを判断できるようにはしておきましょう。それでは、上の裏技を説明をするために、下の画像を見てください。

4step解答

見ていただきたいのは、奥の住職さんではなく、手前のチワワです。ここで、〇×問題です。

問題1: チワワならば、犬である。
この問題を考えていただきたいのですが、答えは普通、〇ですよね。「チワワ」と聞けば、「犬」ということが「十分にわかる」と思います。

問題2: 犬ならば、チワワである。
この〇×問題は、どうでしょうか?「犬」と聞いても、絶対に「チワワ」であるとは限りませんよね。人によっては、「柴犬」という人もいるかもしれません。なので、答えは×です。

この問題1、2を図式化すると以下のようになります。

4step、解答

このような関係が成り立つとき、「チワワは、犬であるための十分条件である。」と言います。特に、 数学では、はQであるための十分条件といいます。

では、次の画像を見てください。

4step解説

チワワほど有名ではないかもしれませんが、これは、三毛猫の画像ですね。ちなみに、三毛猫とは、一般に黒、茶、白の三種類の色毛を持つ猫の事です。ここで、また〇×問題です。

問題1: 猫ならば、三毛猫である。

どうでしょうか?「猫」と聞いても、絶対に「三毛猫」であるとは限りませんよね。人によっては、「野良猫や飼い猫」を考えたりして、はっきりしないので、答えは×です。

問題2: 三毛猫ならば、猫である。

三毛猫ならば、猫であるというのは当たり前ですよね。答えは〇です。この問題1、2を図式化すると以下のようになります。

数学 裏技

このような関係が成り立つとき、「は、三毛猫であるための必要条件である。」と言います。特に、 数学では、はQであるための必要条件といいます。

それでは、実際に論理と集合で出題される問題を2つ紹介します。

問題1:x+y=4ならば、x=y=2であるための何条件か。
問題2:x=4は、(x-4)(x-2)=0であるための何条件か。

まず、問題1ですが、x+y=4ならば、x=y=2が成立するかを考えます。x+y=4より、x=1、y=3とすると、x+y=4ですが、必ずx=y=2が成立するとは限りません。

次に、x=y=2ならば、x+y=4が成立するかを考えます。x=y=2より、x+y=2+2=4となり、成立します。

これらのことを図式化すると以下のようになります。

公式、裏技

この関係は、上の例でいうと、三毛猫のパターンですね。なので、x+y=4ならば、x=y=2であるための必要条件ということがわかります。

では次に、問題2ですが、x=4ならば、(x-4)(x-2)=0が成立するかを考えます。
x=4より、(x-4)(x-2)=(4-4)(4-2)=0・2=0より、成立します。

次に、(x-4)(x-2)=0ならば、x=4が成立するかを考えます。(x-4)(x-2)=0より、x=2と4なので、x=2とすると、必ずx=4が成立するとは限りません。

これらのことを図式化すると以下のようになります。

数学、裏技

この関係は、上の例でいうと、チワワのパターンですね。なので、x=4は、(x-4)(x-2)=0であるための十分条件ということがわかります。

犬と猫の2つの例を紹介しましたが、この2つの関係のどちらかを確実に覚えておけば、論理と集合で出題されるpがqであるための必要条件なのか、十分条件なのかを迷わなくて済みます。


■通分せずに、分数の足し算や引き算ができる裏技(全学年向け)
数学、公式

分数の足し算、引き算は、小学生の子の多くが「嫌い!」という分野です。 一時期、「分数ができない大学生」という本が流行ったように、大学生や大人の人でさえも、分数計算ができない人も多いと思います。

分数の計算ができない人が多いのは、なぜでしょうか?その理由の1つとして、分数の足し算や引き算が難しいのは、「通分ができない」からだと個人的に思います。以下の問題を見てください。

数学の裏技

①の計算なら、解ける人も多いと思いますが、②はどうでしょうか。ある程度、分数計算ができる人でも、②の計算ができない人もいるかもしれません。しかし、分数の計算ができない人にとっては、①も②もわからないことでしょう。

そこで、通分ができない人でも、分数の足し算や引き算ができる裏技を紹介します。

★裏技  分母同士を掛けたものを分母にして、相手の分母の数を、分子に掛けて計算する!

言葉ではわかりにくいと思いますので、上の問題で解説します。

①の計算
数学、裏技

②の計算
数学、公式

この裏技を使えば、通分ができない人でも分数の足し算や引き算ができます。ただ、問題によっては、計算が面倒になることもあるので、後々は、「通分ができる」ようになったほうが良いと思います。


■加法定理を簡単に覚えられる裏技(高校生以上向け)
数学 公式

加法定理であるsin(α+β)やcos(α+β)を覚えるうえで、覚えやすい語呂合わせ裏技があります。

★裏技  sin(α+β)なら 「咲いたコスモス コスモス咲いた」
      cos(α+β)なら 「コスモスコスモス 咲いた咲いた」


この語呂合わせの歌詞を覚えておくと、sin(α+β)やcos(α+β)の公式が覚えやすくなります。有名な歌詞なので、学校の先生が教えてくれることもよくあります。利用法は、下の画像を参考にしてください。

数学 裏技

注意すべき点は、2つあります。1つ目は、αとβが交互になるところです。2つ目は、sin(α+β)なら真ん中の符号がプラスとなり、sin(α-β)なら、真ん中の符号はマイナスになることです。これらのことは歌詞に出てこないので、覚えてもらうしかありません。

なお、sin(α+β)は、サインということて、「サイン → 咲いた」つながりで、「咲いた」の歌詞から始まると覚えておくと良いと思います。


では、次にcos(α+β)の覚え方です。

数学 裏技

cos(α+β)も注意すべき点は、2つあります。1つ目は、αとβが交互になるところです。2つ目は、cos(α+β)なら真ん中の符号がマイナスとなり、cos(α-β)なら、真ん中の符号はプラスになることです。sinのときとは、符号が逆になるのがポイントですね。

なお、cos(α+β)は、コサインということて、「コサイン → コスモス」つながりで、「コスモス」の歌詞から始まると覚えておくと良いと思います。


最後にtan(α+β)の加法定理の覚え方です。tan(α+β)は、下の裏技歌詞を覚えてください。

★裏技  tan(α+β)なら 「タンプラタンノマイタンタン」

言葉の意味は、特にありませんが、リズムで覚えておくと良いと思います。 この語呂合わせの歌詞を覚えておくと、tan(α+β)の公式が覚えやすくなります。では、この歌詞の使い方も下の画像を参考にしてください。

公式 裏技
タンプラタンノの「ノ」は、数字の1を意味します。この公式を覚えることができれば、tan(α-β)は、分子のプラスと分母のマイナスをひっくり返すだけで覚えられます。


■サイコロ2個の確率問題を簡単に解く裏技(中学生以上向け)
確率、サイコロ
確率は、中学二年生の学年末の時期に習います。また、高校生になっても習うため、超重要な分野と言っていいでしょう。確率の分野で、特によく出題されるのが、サイコロを使う問題です。

2個のサイコロA、Bを投げたとき、①2つの目の積が12になる確率と ②2つの目の積が奇数になる確率を求めよう。

下のように、6×6=36マスの表を作り、条件に合うところに〇をする。

数学 裏技
2個のサイコロを使う問題が出題された瞬間に、この表を作る癖をつけておきましょう。この問題は、色々な解き方がありますが、個人的には、6×6マスの表を作る解き方が一番簡単だと思います。


■11の掛け算を出す公式(全学年向け)
数学、裏ワザ公式
23×11や、342×11をかけるときなど、11をかけるときに使える便利な裏ワザ公式があります。例えば、
二ケタの数ABと11をかけるときなら、

                    百の位  十の位   一の位
★裏技公式  B × 11 =    (+B)   B

上の公式だと文字ばかりで、わかりにくいので、例をあげて解説します。

例① 23 × 11
A=2、B=3なので、百の位は、一の位は3を書きます。後は、十の位は+B=+3=5を書きます。
                     百    十    一            
23 × 11= 3 × 11 = 2  +3)  3 = 253  

もしA+Bが10を超えた場合は、百の位に1を足せばOKです。
例② 48 × 11
A=4、B=8なので、百の位は、一の位は8を書きます。後は、十の位は+B=+8=1と10を超えたので、百の位に1を足し、十の位にを使えばOKです。

                     百    十    一            
48 × 11= 8 × 11 = 4  +8)  8 = 4  (1)  8 = 528  


次に、三ケタ×11のときの例です。三ケタの数ABCと11をかけるときなら、

                      千の位   百の位   十の位    一の位
★裏技公式   × 11 =     (+B) (B+C)   C

やはり文字ばかりで、わかりにくいので、例をあげて解説します。

例① 324 × 11
A=3、B=2、C=4なので、千の位は、一の位はを書きます。後は、百の位は+B=+2=5、十の位はをB+=2+=6を書きます。

                       千   百     十     一            
324 × 11= × 11 = 3  +2) (2+ 4 3564  

もしA+BやB+Cが10を超えた場合は、2ケタのときと同じように、一つ上の位に1を足せばOKです。

例② 539 × 11
A=5、B=3、C=9なので、千の位は、一の位はを書きます。後は、百の位は+B=+3=8、十の位はをB+=3+=12なので、一つ上の位の百に1を加え、十の位には2を書きます。

つまり、百の位は、8+1=9に変わりますので、少し注意が必要です。

                       千   百     十     一            
539 × 11= × 11 = 5  +3) (3+)  5929  

11はとても不思議な数ですね。数字の組合せは、色々あるので、違うパターンの問題を自分で試してみてください。「習うより慣れろ!」です。


■分子と分母の位置を覚えやすくする裏技(全学年向け)
数学、公式
分子と分母が、分数の真ん中の線【括線(かっせん)】の上なのか下なのか迷ったことはありませんか。まだ、分子が上なのか下なのか覚えていない子は、「おんぶ」をイメージしてください。

★裏技  母が子をおんぶして、子は上にくる

母と子、おんぶするのは、普通はお母さんですね。子どもは、おんぶされることで、母の上にくると覚えると、「分子は上」「分母は下」と覚えやすくなると思います。


■正四面体の体積や高さをすぐに出せる裏技公式(高校生以上向け)
数学裏技

正四面体の体積や高さは、普通に求めると時間がかりますが、1辺の長さがわかっていると、すぐに出すことができる裏技公式があります。1辺の長さがaとするとの正四面体の体積と高さは

数学裏技
正四面体の体積を出す問題は、空間図形の分野や大学入試でも、出題頻度が高いです。

例えば、早稲田大学の過去問で、「一辺の長さが1の立方体がある。この立方体の8個の頂点のうちの4個を頂点とする正四面体の体積を求めよ。」などが出題されています。


■時速〇kmを秒速△mに変換する裏技(全学年向け)
数学 裏技
時速を秒速にすぐに変換できる裏技を紹介します。 速さの単位変換は、普通に解くと、結構時間がかかります。
特に、「秒速〇m⇔時速△km」の変換は、中学受験やSPI試験などに出題頻度が高いので、ぜひマスターしておきましょう。

★裏技  秒速〇m = 時速△km ÷ 3.6
      (〇m/秒 = △km/時 ÷ 3.6)
 

これは、京都大学卒業の「ヒャダイン」さんが、テレビで使っていた裏技公式です。この裏技は、要するに、時速△kmを3.6で割れば、秒速〇mにすぐにかえることができる裏技です。


例① 時速36kmは秒速何mか。

時速△kmを秒速〇mに変える問題なので、上の公式を使えば簡単に答えが出せます。

秒速(m)=時速(km)÷3.6=36÷3.6=10m/秒


例② 秒速10mは時速何kmか。

秒速〇mを時速△kmに変える問題ですが、これも上の公式を使えば簡単に答えが出せます。

秒速(m)=時速(km)÷3.6
    10=時速(km)÷3.6
時速(km)=10×3.6      →   時速=36km/時

時速△kmを3.6で割れば、秒速〇mが出るので逆に、秒速〇mに3.6をかければ、時速△kmが出るとも考えることができます。


例③ 2時間20分で42km走る人の速さは、秒速何mか。
公式 裏技


誤字脱字、三重の家庭教師への質問等ありましたら、下のコメント欄から、お気軽にご連絡いただけたらと思います。