本日は、「数学の計算問題」をまとめていきます。皆さんは、計算するのが得意ですか?私は中学生のとき、文章問題は大嫌いでしたが、計算問題は好きな方でした。

数学が苦手な人や嫌いな人の多くは、「簡単な計算ができなかったり、計算するスピードが遅い」と言われています。しかし、計算は数学の基本中の基本で、数学ができるようになるには、絶対にできないといけません。

さらに、計算できるスピードが1秒でも速くなれば、同じ1時間の勉強でも他の人よりもたくさんの問題を解くことができて、時間効率も上がります。ということで、以下に絶対にできるようになっておきたい簡単な計算問題を解説付きでたくさん紹介していきます。

計算が得意な方は、画像の問題のみ見ていただけたら、簡単に計算の総復習ができると思います。テスト前や入試前の短期集中学習として利用できると思います。

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それでは、小学生レベルから学年別に紹介していきますので、計算が苦手な中学生や高校生の方はもちろん、もう一度計算問題を学習したいと考えている社会人の方や高齢者の方も見ていただいたらと思います!


【小学生レベルの計算】

九九の表を無料で紹介!九九の掛け算が歌えるかチェックしよう!

分数の足し算や引き算の問題!やり方は分母を同じ数にそろえること!

分数の掛け算と割り算の問題!やり方は非常に簡単、約分にだけ注意!


【中学1年生レベルの計算】

カッコの外し方!カッコの前にマイナスがあると符号がかわる!

正負の数の加法!簡単な問題で計算のやり方を解説していくよ!

正負の数の減法!問題を解くには、カッコの外し方を知っているかが大切!

正負の数の乗法と除法!問題を見たら、答えが+か-なのかを考えよう!

累乗の計算!簡単に答えがプラスなのかマイナスなのかわかる問題!

四則の混じった計算

式の値と代入

1次式の加法、減法①

1次式の加法、減法②

1次式と数の乗法、除法①

1次式と数の乗法、除法②

方程式の解き方

小数の方程式の解き方

分数の方程式の解き方

移項

方程式の応用問題①

方程式の応用問題②

比例式

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【正の数、負の数の減法】

・次の減法の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 正負の減法

【この計算問題の補足解説】

正負の減法は、カッコの外し方と、先ほどの正負の加法の知識をうまく使えばできます。特に、③~⑥の-(-○)=+○のパターンが間違えやすいので注意しましょう。



【正の数、負の数の乗法、除法】

・次の乗法や除法の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 乗法、除法

【この計算問題の補足解説】

この問題のように、正負が混ざった掛け算、割り算は「答えが+なのか-なのかを判断する習慣」をつけましょう。①、②、④、⑤のように、+と-の掛け算や割り算の答えは、-になります。

一方、③、⑥、⑦のように、-同士の掛け算や割り算の答えは+になります。そして、答えが+なのか-なのかわかったら、後は小学校で習った掛け算と割り算のようにして計算すればいいだけです。

例えば、2×(-5)なら、「+と-の掛け算だから、答えは-だな。」⇒「2×5=10だから、答えは-10だな」みたいな流れで考えると良いでしょう。 

また③、⑥、⑦のように、答えが+とわかっている場合は、邪魔な-は消して考えると、わかりやすいと思います。



【累乗】

・次の累乗の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 累乗

【この計算問題の補足解説】

①②
は3×3を、は3×3×3を意味します。このように、同じ数をいくつもかけたものを累乗(るいじょう)と言います。例えば、3なら、3×3×3×3ということで、3を4回かけることを意味します。


③④
(-2)や(-2)のような(-○)の計算をするときは、まず答えが+になるのか-になるのかを判断しましょう。

△の数が③のように、奇数のときは、答えは-になります。また、④のように、△の数が偶数なら、答えは+になります。ちなみに△の部分を数学では「指数」といいます。



指数が2017で奇数なので、答えは-になります。後は1を2017回掛けることになるのですが、1は何回かけても1なので、答えは-1になります


⑥⑦
(-○)のように、△がカッコの内側に来ている場合の答えは、必ず-になります。③④のように、△が外側の場合との違いがややこしいので、よくテストに出ます。



この問題も、「最終的に答えが+なのか、-になのか?」がわかりにくい問題です。まず、(-1)の計算をすると+1となり、-(+1)なので、最終的にカッコの外し方のルールにより、答えは-1となります。



【四則の混じった計算】

・計算する順番に注意して、次の計算問題を解いてみよう。

四則の混じった計算問題

【この計算問題の補足解説】

+、-、×、÷の四則や(3-5)や累乗を含む計算のときは、計算する順番にルールがあるので注意しましょう。計算する順番は、 ①累乗、カッコ ⇒ ②掛け算、割り算 ⇒ ③足し算、引き算 の順にしていきます。

例えば、①の問題で、7+3×(-4)=10×(-4)=-40という感じで、足し算から先に計算すると間違いになります。なぜなら、上のルールで、掛け算の方が先と決められているからですね。

上の画像では、先に計算するところを青い点線で示してありますので、どの計算を先にするべきなのか?を理解していただけたらと思います。



【式の値と代入】

・次の式の値を求めてみよう。

式の値と代入法

【この計算問題の補足解説】

x=3などの数字を、もとの式のxにあてはめることを数学では、「代入する」といいます。②のx=-2など、-の数を代入するときは、カッコをつけるなどの書き方に注意しましょう。

また、④と⑤は間違えやすい問題なので、答えが+なのか-になるのかをしっかり見極められるようにしておきましょう。



【1次式の加法、減法①】

・次の計算問題を解いてみよう。

文字の加法

【この計算問題の補足解説】

2x+3xのような文字を含んだ足し算や引き算は、前についている数字を足したり、引いたりするだけです。なお、②のxの前には、数字の1があると考えてください。

数学では、1xのようには書かず、1を省略してxと書きます。なので、③の答えは1xと書かないように注意しましょう。また④の答えは0xとなりますが、0x=0のことなので、0xと書かずに0と書きましょう。



【1次式の加法、減法②】

・①~④は、カッコを外してみよう。④~⑥は計算問題を解いてみよう。

文字の計算

【この計算問題の補足解説】

①~④
①や②のようにカッコの前に-がついていない場合は、そのままカッコを外してもOKです。しかし、③の-(5x-1)のように、カッコの前に-があるときのカッコを外すときは注意です!

例えば、-(5x-1)=-5x-1という間違いをしてしまう子が非常に多いです。私が家庭教師として教えてきた生徒様の中にもよくこのようなミスをする子がいます。

-(5x-1)=-5x+1です。カッコの前に-がある場合は、カッコを外すと、カッコの中の+と-の符号が逆になるので、注意しましょう。


⑥⑦
先ほど言ったように、カッコの前に-があるときは要注意です。テストを作る人はこの⑥や⑦の問題で、私達を間違わさせてようとしてくるので、ひっかからないようにしましょう!



【1次式と数の乗法、除法①】

・次の計算問題を解いてみよう。

文字の乗法、除法の計算問題

【この計算問題の補足解説】

2×3xのような数字と文字の掛け算は、数字同士を掛けて、文字は最後にくっつけるだけでOKです。割り算についても同じです。正の数、負の数の乗法、除法の計算を理解していたら、比較的簡単に解くことができますよ。



【1次式と数の乗法、除法②】

・次の計算問題を解いてみよう。

文字の乗法、除法 計算問題

【この計算問題の補足解説】

3(2x-4)=3×2x+3×(-4)のように、○(☐+△)=〇×☐+○×△のようにすることを分配法則といいます。〇をカッコの中の数にそれぞれ掛けるという法則です。

分配法則は、割り算の場合もあります。例えば④の(-4x+6)÷2なら、分配法則を使うと、-4x÷2+6÷2のように、カッコの中の数をそれぞれ割って計算することになります。

中学1年生で習うこの分配法則は、これから中学2年生~大学入試まで、非常に使うことが多いので、絶対にマスターしてください。



【方程式の解き方】

・次の方程式を解いてみよう。

方程式の解き方

【この計算問題の補足解説】

2x=6のような、xと=が一緒にある式を、数学では「方程式」といいます。2x=6のような○x=△の解き方は、xの前にある数の○を右辺(=の右側の数△のこと)の分母にもっていけば解くことができます。

例えば、①なら2x=6なので、xの前にある数字の2を右辺の分母にもっていき、6/2(2分の6)とすればOKです。後は約分できる場合は、必ず約分をしておきましょう!

ちなみに、私の経験上、④以降の方程式の問題を解けない子が多いと思います。例えば、④の答えを0、⑤の答えを1や-3、⑥の答えを-1にするようなミスが目立ちます。おそらく移行の考え方と勘違いしているのでしょう。

なお、⑧や⑨のように右辺が分数のときは、xの前の数字と右辺の分母を掛けます。例えば、⑧の問題なら、xの前の数が3なので、右辺の分母に3をもっていくのですが、右辺の分母が2なので、2×3=6となります。




【小数の方程式の解き方】

・次の方程式を解いてみよう。

小数の方程式の解き方

【この計算問題の補足解説】

方程式は、=の両辺(=の左側の数と右側の数のこと)に同じ数を掛けたり、割ったりしても良い」という特徴があります。例えば、2=2の両辺に×10をすると、2×10=2×10で20=20となり、=の関係が成り立ちますね。

この特徴から、問題①の0.2x=6の両辺に×10をしてもOKなんです。小数が入っている方程式の問題は両辺に×10や×100をして、小数点をなくしてから解いていきましょう。



【分数の方程式の解き方】

・次の方程式を解いてみよう。

分数の方程式の解き方

【この計算問題の補足解説】

先ほど言ったように、「方程式は=の両辺(=の左側の数と右側の数のこと)に同じ数を掛けても良い」ので、分数の方程式のときもこの特徴をうまく使います。

分数の方程式の解き方のコツは、xの前についている分母の数を両辺に掛けることです。例えば、①ならxの前についている分数の分母は4なので、両辺に4を掛ければ、分母の4を消すことができます。

②や③も同じで、xの前についている分母を両辺に掛ければ、分母が消えて、方程式の解き方のパターンになるので、解くことができますね。



【移項】

・次の方程式を解いてみよう。

移行

【この計算問題の補足解説】

問題①のx+4=-2の+4を右辺に移動させると、x=-2-4になります。このように、=を飛びこえて、左辺の数を右辺に移動させることを数学では、「移項する」といいます。

また、問題②の右辺の2xを左辺に移動させることも「移項」といいます。この移項をしたときに、絶対にしないといけないことがあります。それは「+と-の符号を逆にする」ということです。

例えば、問題①の左辺の+4を右辺に移項すると、+4を-4にしないといけません。問題②でも同じで、右辺の2xを左辺に移項したら、-2xのように、符号を逆にしないといけません。

移項したのに、+と-を逆にするのを忘れてしまうミスをよくしてしまうので、とにかく「=を飛びこえたら、符号を逆にする習慣」をつけましょう。



【方程式の応用問題①】

・次の方程式を解いてみよう。

方程式の応用問題

【この計算問題の補足解説】


0.2などの小数を含む方程式は、小数の方程式の解き方でやったように、両辺を10倍したりすることで計算しやすくなります。なので、左辺の0.2と-0.1x、右辺の0.3xと1をすべて10倍してください。

そうすれば、移項でやった問題と同じ形になりますね。



2/3などの分数を含む方程式も、分数の方程式の解き方でやったように、両辺を何倍かして、分母を消すことができれば、解くことができます。

分母を消すために、分数の分母に注目すると、左辺には3、右辺には2があるので、3と2の最小公倍数の6をかけると分母の3と2を消すことができます。

ちなみに、3と2の最小公倍数とは、3でも2でも割り切れる数のことです。6は3でも2でも割れますよね。なので、①と同じように、左辺の2x/3と-2、右辺の3x/2と+3をすべて6倍してやれば、分母が消えて見慣れた形になります。

分数の方程式の問題は、まず「最小公倍数を両辺にかけて分母を消す!」というのがポイントです。



【方程式の応用問題➁】

・次の方程式を解いてみよう。

方程式 計算問題

【この計算問題の補足解説】


これも上の②と同じで分数を含む方程式なので、両辺を何倍かして、分母を消すことができれば、解くことができますね。

分母は5と3なので、5と3の最小公倍数の15をかければOKです。そして、約分するのですが、ここで、必ず分子の3x-4と2x-1には、(3x-4)、(2x-1)のようにカッコをつけましょう。

カッコをつけずに、3x-4×3=3x-12というミスをする子がたくさんいます。ここがこの問題の引っかけポイントなので、気を付けてください。



①と同じような問題に見えますが、全然違います。①は=が入っているので、方程式の問題ですが、②は=が+になっているので、方程式ではありません。

くれぐれも①のように、両辺を15倍して、分母を消すようなミスはしないようにしましょう。分数の計算なので、分母を通分して計算します。



【比例式】

・次の比例式で、xの値を求めよう。

比例式の計算問題

【この計算問題の補足解説】


3:4=x:8のような式を比例式といいます。比例式の計算の仕方は、「内掛け=外掛け」です。これはどういうことかというと、例えば、3:4=x:8なら、内側(オレンジの線)の4とxを掛けて、外側(青色の線)の3と8を掛けて、=で結べばOKという意味です。



①のように、いきなり内掛け=外掛けをしてもいいですが、8:12はどちらも4で割れるので、8:12を4で割って、2:3に言い変えてから計算したほうが楽ですね。



比例式の計算で、x-3のような式が出てきた場合は、必ずカッコをつけた(x-3)のようにしてから計算していきましょう。

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