こんにちは、三重の家庭教師です。今回は「平方根の計算」のまとめです!中学3年生の子は、ちょうど今の7月ごろに「平方根」を習い終わったと思います。

ということで、平方根の計算で基本的な問題や、ぜひ覚えておきたい問題をまとめてみました。解説は非常に簡単かつ、シンプルに書きましたので、定期テスト前や受験前の確認に利用していただけたらと思います。

それぞれの問題にはパターンがあり、そのパターンを知ってたら、10秒以内に解けるような問題ばかりなので、平方根が苦手な子も、得意な問題を1つでも見つけていただけたらと思います。

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下に平方根でよく出題される知識や計算問題を紹介していきます。解き方や求め方を知りたい問題をクリックしてください。クリックしてもジャンプしない場合は、スライドさせて見てください。


(1)平方根
9の平方根を言いなさい。

√9を√を使わないで表しなさい。

3を√を使って表しなさい。


(2)平方根の大小
√2と√3の大小を、不等号を使って表しなさい。

2と√3の大小を、不等号を使って表しなさい。


(3)有理数と無理数
有理数と無理数に分けなさい。


(4)√(根号)を含む式の掛け算(乗法)、割り算(除法)
√2×√3を計算しなさい。

√6÷√2を計算しなさい。

2√3を√aの形にしなさい。

√1の√を外しなさい。

√12の√の中をできるだけ簡単な形にしなさい。

√12の√の中をできるだけ簡単な形にしなさい。(別解)

√18×√20を計算しなさい。

√18×√20を計算しなさい。(別解)


(5)分母の有理化
√3/√5を有理化しなさい。


(6)根号を含む式の値
√2=1.41として、3√2の値を求めなさい。


(7)根号を含む式の和(足し算)と差(引き算)
2√5+3√5を計算しなさい。

2√5-3√5を計算しなさい。

√20-2√5を計算しなさい。


(8)根号を含む式の色々な計算
√2×√6-√3を計算しなさい。

(√2+1)(√3-4)を計算しなさい。



問題  次の数の平方根を言ってみよう。

平方根のまとめ

【この問題の解き方】

「9の平方根を言いなさい」と来たら、「2乗して9になる数を言え」と聞いている。 2乗して9になるような数は、3と-3なので、9の平方根は、3と-3です。

 ④の3の平方根のように、2乗して3になる数が思いつかない場合は、3に±√をかぶせるだけ。 0以外の平方根の答えは、必ず+と-の2つある。



問題  次の数を√を使わないで表してみよう。

平方根

【この問題の解き方】

「〇を√を使わないで表しなさい」と来たら、「〇の2乗を作るのがポイント」となる。①の3のように、√の中に、2乗が作れたら、√をはずせばOK。詳しくはルート(根号)の外し方!2乗が作れたら√を消せ!を参考に。



問題  次の数を√を使って表してみよう。

平方根、一覧

【この問題の解き方】

「〇を√で表せ」と来たら、「〇を2乗して√をつける」だけ。例えば、①の3を√で表すには、3を2乗して√をつけるだけで良い。つまり、3を2乗すると9なので、√9が答えとなる。

②の7も同じ。7を√で表したければ、7=49なので、49に√をつけるだけ。③~⑤も2乗して√をつけるだけでできる。



問題  次の数の大小を不等号を使って表してみよう。

平方根の一覧

【この問題の解き方】

「√の大小を求めなさい」と来たら、「√を外して考える」のがポイントとなる。例えば、②の√を外すと、2と3で、2<3なので、√3の方が大きくなる。

このように、②~⑦のように、√同士の大小比較は、√を外して考えればよい。-の√の大小も同じです。⑥の√を外すと、-2>-3なので、-√2の方が大きくなる。



問題  次の数の大小を不等号を使って表してみよう。

平方根の大小

【この問題の解き方】

「2、√3 のような√がない数と√がある数の大小を求めなさい」と来たら、「2を√に戻して考える」のがポイントとなる。

例えば、①の2を√に戻すと、2を2乗して√を付けだけなので、2=√4となる。この知識は、 2つ上の問題を参考にしてほしい。

これができれば、後は1つ上の問題と全く同じで、√4>√3なので、2>√3となる。



問題  次の数を有理数と無理数に分けてみよう。

有理数と無理数

【この問題の解き方】

有理数と無理数の区別をするには、無理数を先に覚えると良い。無理数は、簡単に言うと、「√がついた数と円周率π」です。なので、①の√2や④や⑤などは、√がついているので、無理数ですね。

ただし、√がついていれば絶対無理数とは限りません。②の√9は計算できて、√9=3となり、√が外れ有理数となるので、√がついていても⑥や⑧や⑨のように、計算できる数は、注意が必要です。

なお、有理数は、分数で表せるような数ですが、無理数を覚えてしまえば、その逆が有理数となるので、無理数を先に覚えるのが良いと思います。



問題  次の計算をしてみよう。

√の掛け算

【この問題の解き方】

「√同士の掛け算」と来たら、「√を合体して掛ける」だけです。√同士の掛け算は、①のような基本的な掛け算ができれば、ほとんどできたようなものです。

ただし、掛けた後、④~⑥のように、√が外れる場合があるので、計算がまだ続くかどうかを意識しておきましょう。



問題  次の計算をしてみよう。

√の割り算


【この問題の解き方】

「√同士の割り算」と来たら、「√を合体して割る」だけです。√同士の掛け算と同じですね。③の7÷3のように、割れない時は、3の逆数をとって、7/3(3分の7)とすればOKです。

ただし、掛け算のときと同じで、割った後も計算が続くことが多いので、出題者の罠にひっかからないように、気を付けましょう。



問題  次の数を√aの形にしてみよう。

平方根を√aの形に

【この問題の解き方】

「√aの形にしなさい」と来たら、「√のついていない数を√にして掛ける」だけです。まず、①の2√3は、2×√3を意味します。①では、√がついていない数は2なので、2を2=√4に変形して、後は掛け算をすればOKです。

なお、③のように分子と分母に√がある場合は、分子と分母の√を合体することができるので、この知識も覚えておきましょう。



問題  次の数の√を外してみよう。

√を外せる数

【この問題の解き方】

上の√の中の数は、すべて〇の形にできるので、√を外すことができます。√の中が、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100なら、√は外すことができます。

16=4=4×4のように、これらの数は1~10の段の同じ数を掛けただけの数字です。√4や√16などの√が外れる数を覚えておくと、非常に便利なのでしっかりと覚えておきましょう。



問題  次の数の√の中をできるだけ簡単な数にしてみよう。

平方根を☐√△の形に

【この問題の解き方】

「√の中をできるだけ簡単な数にしなさい」と来たら、「√の中を素因数分解して2乗を作る」ことがポイントです。例えば、①の√の中は12なので、12を素因数分解すると、12=2×3で2の2乗が作れます。

2乗が作れると√は外すことができるルールなので、このように素因数分解して、〇を作ることが大切です。



問題  次の数の√の中をできるだけ簡単な数にしてみよう。

平方根を簡単にする方法

【この問題の解き方】

√の中をできるだけ簡単な数にする方法には、「素因数分解をして2乗を作る方法」の他に、「√が外れる数に変形して解く方法」があります。例えば、①の12は12=4×3と変形できます。そして、√4といえば、√が外せる数なので、√4=2とできます。

この方法は、③のような√の中の数が大きい数ほど、素因数分解が面倒になるので、知っていると便利な方法です。その意味で、√が外れる数をたくさん覚えておくと、計算スピードが速くなりますので、√が外れる数をしっかり覚えておくと良いでしょう。

問題  次の計算をしてみよう。

平方根の掛け算

【この問題の解き方】

「3√2 ×2√5 」のような計算が来たら、「√の外同士掛け算、√の中同士掛け算」すればよい。例えば、①の3√2 ×2√5 の問題の場合は、√の外の数が3と2なので、3×2をして、√の中は2と5なので、2×5をすれば良い。

要するに、√は√同士(√2と√5)掛け算して、√がついていない数はその数同士(3と2)を計算すればよいだけです。

②のような計算は、√の中同士を掛けて、√360にしても良いが、√18や√20が変形できるので、変形してから解いた方が計算しやすい。



問題  次の計算をしてみよう。

平方根の乗法

【この問題の解き方】

「√同士の掛け算」には、色々な解き方があります。上の方法は、√の中で素因数分解する方法です。この方法を使えば、先ほど解説した問題②を解くことができます。

数学の答えは最終的に決まっていますが、途中計算の解き方はこのように色々ありますので、自分にとって計算しやすい方法を見つけましょう。



問題  次の数の分母を有理化してみよう。

有理化

【この問題の解き方】

「有理化しなさい」と来たら、「分母の√の数を分子と分母に掛ける」だけです。例えば①の分母は√5なので、分子と分母に√5を掛けます。

その後は、計算するだけですが、②のように約分ができる場合もあるので、注意しましょう。なお、有理化は「分母の√を外すこと」を意味します。①と②のどの答えも分母の√が外れていますね。

問題  √2=1.41として、次の値を求めよう。

根号を含む式の値

【この問題の解き方】

√2=1.41を使う問題は、「√2を使えるように式を変形する」のがポイントです。例えば、②の√18のままでは、√2=1.41を代入できないので、代入できるように式を変形すればいいんです。

なお、④の1.41×10のように、小数に10を掛ける場合は、小数点を右に1個ずらすだけのことや⑤の1.41÷10のように、小数に10を割る場合は、小数点を左に1個ずらすだけという知識も覚えておきましょう。



問題  次の計算をしてみよう。

√の足し算

【この問題の解き方】

「2√5+3√5」のような計算が来たら、「√の外同士を足し算」すればよい。例えば、②のように、2√5+3√5を計算するには、√の外の数が2と3なので、2と3を足して、最後に√5をくっつければよいだけです。

√の足し算は、2x+3x=5xと同じような感じです。2x+3x=5xの計算がわかる人なら、2√5+3√5=5√5も同じような計算方法だとわかると思います。

なお、√の中が違う場合の足し算は、計算ができませんので、注意が必要です。例えば、⑤の√の中は2と3で違いますね。この場合は計算できません。5x+4yが計算できない感覚と同じです。



問題  次の計算をしてみよう。

√の引き算

【この問題の解き方】

「2√5-3√5」のような計算が来たら、「√の外同士を引き算」すればよい。例えば、②のように、2√5-3√5を計算するには、√の外の数が2と3なので、2と3を引いて、-√5にすればいいだけです。

√の引き算は、2x-3x=-xと同じような感じです。引き算の計算も足し算と全く同じルールです。同じ√同士が計算できるルールです。

例えば、④の問題は計算できる仲間が一つもないので、これ以上は計算できません。4x-3y+2がこれ以上計算できないことと同じです。

問題  √20-2√5を計算してみよう。

平方根の計算

【この問題の解き方】

「√20-2√5」のような計算が来たら、「√を変形してから計算」すればよい。例えば、①のように、√20と2√5では計算できないように見えますが、√20は2√5に変形できます。

この変形をすると、同じ√5の仲間になるので、計算することができます。これらの問題は、「自分で式を変形して計算する」というのがポイントです。



問題  √2×√6-√3を計算してみよう。

平方根の計算、応用

【この問題の解き方】

「√の+-×÷の混合問題」が来たら、「掛け算と割り算を先に計算」すればよい。例えば、2×6-3なら、2×6の掛け算を先に計算しますよね。これと同じで、①の問題なら、√2×√6を先に計算して、√12としましょう。

また、③と④の問題は、分配法則を使う問題です。③は3(2x-5)、④は(14x-2)÷2を計算するような感じで、分配法則を使って解くことができます。



問題  (√2+1)(√3-4)を計算してみよう。

平方根の計算、分配法則

【この問題の解き方】

この問題で平方根の計算の最後の問題となります。これらの問題は、「式の展開」の分野の知識が必要となります。

①なら、(x+1)(y-4)=xy-4x+y-4と同じような感じで計算できます。これは分配法則である(a+b)(c+d)=a×b+a×d+b×c+b×dの知識を利用しています。

②は、(x+2)(x+5)=x+(2+5)x+2×5を展開するような感じで計算することができます。③は(x+4)(x-4)=x-4という展開ができる人なら理解できると思います。

④は、(x+1)=x+2x+1のxに√3を入れて、計算するだけです。⑤も同じように(x-3)=x-6x+9の展開した式のxに√5を入れて計算すればできます。その意味で、(x+1)などの展開ができるかどうかが大切となります。


これで、「平方根の計算」の解説を終わります。平方根の知識は、次に習う「二次方程式」という分野で、めちゃくちゃ使いますので、しっかり夏休み中に復習しておくことをオススメします。

平方根の計算が理解できたら、次に二次方程式の解き方!この計算だけは解けるようになっておこう!!を読んでいただけたらと思います。

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