三重の家庭教師です。今回は、「数学公式などの裏技」を紹介します。数学の問題を解く際に、下の公式などを暗記しておくと、非常に便利な時があります。
例えば、円すいの表面積の問題を皆さんは解くことができますか?円すいの表面積は、中学1年生の「空間図形」という分野で習います。
私は空間図形は嫌いな分野でしたが、数学が苦手な子からしたら、円錐の表面積を出せない人は、非常に多いと思います。
しかし、算数や数学が苦手な子でも、以下で紹介する裏技公式の一覧を知っていれば、
楽勝かつ簡単に問題を解けることがあるんです!
なので、中学生や、高校生の方、センター試験を受けたり、大学受験をされる方は、ぜひ見ていってください。
以下に、教科書に載っていない裏技や公式などを幅広く紹介しています。また、これからも色んな数学の裏技公式を紹介できたらなあと思っています。
↓ 最新の裏技はコチラ ↓
化学のmol計算の裏技
目次は、学年別に分けてありますので、自分の適性に合わせてクリックしてください。
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覚えてほしい数学の裏技公式
ここでは、私がアナタに「特にオススメしたい裏技や公式」などを紹介しています。どれも利用価値が高く、覚えて損はない内容となっていますので、ぜひ見てください。
【全学年にオススメ】
図形の公式一覧
0を作って計算を楽にする裏技
同じ数の掛け算
【中学生以上にオススメ】
グラフが絶対に書ける裏技
y=ax+bのグラフがすぐに書ける裏技
サイコロ2個の確率問題で使える裏技
因数分解の解き方やパターン一覧
二次方程式の解き方
【高校生以上にオススメ】
たすきがけのやり方
解の公式の裏技公式
加法定理を覚えやすくする裏技
円すいの側面積を5秒で出せる裏技公式
円すいの表面積を出すには、円すいの側面積と底面積を出して、足さないといけません。教科書は、上図のように、円すいを展開して解説していると思います。
そして、扇形(おうぎがた)の中心角を求めて、扇形の面積の公式を使って側面積を出します。しかし、この解き方は、答えを出すのに時間がかかります。
さらに、算数や数学が苦手な子だと、最初の中心角を出すことが難しいと思います。しかし、下の裏技公式を知っていれば、速攻で側面積が出せるんですよ!
★裏技公式
円すいの側面積 = 母線 × 半径 × 円周率
つまり、円すいの母線と円の半径と円周率をかけたらいいだけですね。母線は上図でも書きましたが、斜めの線の部分です。では、この裏技公式を使ってみましょう。
【問題】下図の円すいの表面積を求めよう。
【小学生向けの解答】
図から、母線=6、円の半径=3、円周率=3.14なので、上の公式を利用すると、
側面積 = 母線 × 半径 × 3.14
= 6 × 3 × 3.14
= 56.52
このように、母線 × 半径 × 3.14をすれば、簡単に側面積が出せます。後は、底面積を出せばいいので、円の面積の公式から、
底面積 = 3 × 3 × 3.14
= 28.26
表面積 = 側面積 + 底面積
= 56.52 + 28.26
= 84.78
(答え)84.78 (cm2)
【中学生、高校生向けの解答】
図から、母線=6、円の半径=3、円周率=πなので、上の公式を利用すると、
側面積 = 母線 × 半径 × π
= 6 × 3 × π
= 18π
中学になると、円周率はπになるので、さらに計算が簡単になりますね。後は、底面の円の面積を求めましょう。
底面積 = 3 × 3 × π
= 9π
表面積 = 側面積 + 底面積
= 18π + 9π
= 27π
(答え)27π (cm2)
この裏技公式を使えば、中心角を出さなくても、側面積を出すことができます。慣れれば、5秒以内に側面積を出せますよ!
0を作って計算を楽にする裏技
上の画像は、昔放送されていた「めちゃ×2イケてる!」という番組で出題された問題です。皆さんなら、上の問題をどのように解きますか。
AKBの皆さんが、なかなか面白い解答をしていますので紹介します。まず、AKBの渡辺麻友さんの解答です。
【AKBの渡辺麻友さんの解答】
【AKBの渡辺麻友さんの解答】
渡辺麻友さんの解き方は、左から順番に解いていく、素直な解き方です。見てもらえばわかると思いますが、左から順に解いていくと、結構計算が面倒くさそうな解き方だと思います。
しかし、最終的に計算結果が合っていますので、これはこれで、彼女の頑張りを評価したい解答だと思います。
しかし、最終的に計算結果が合っていますので、これはこれで、彼女の頑張りを評価したい解答だと思います。
まさに根性で正解までたどりついた解答ですね。では次に、AKBの小嶋陽菜さんの解答です。
【AKBの小嶋陽菜さんの解答】
小嶋陽菜さんの解答は、前の数字と後ろの数字を足し合わせて、「100」を作るうまい計算方法です。
この問題は、100が作れることに気づくと計算が一気に簡単になります。つまり、
100+100+100+100+95
となり、答えは495となりますね。皆さんはこの解き方を気づくことができましたか?
小嶋さんは、残念ながら最後の95を足し忘れて間違っていますが、計算するときは、彼女のように左から順に計算せず、100などの0が作れないか考えることが大切です。
このことを理解してもらうために、「100などの0を無理やり作って計算する」裏技を今からご紹介します。①から③の問題をあなたならどう解きますか?
★裏技
①73+99=73+100-1
=173-1
=172
②87+97
=87+100-3
=187-3
=184
③327+497
=327+500-3
=827-3
=824
おそらく、73+99を計算するとき、ほとんどの人は、99を100-1のように変形しないと思います。
しかし、99、97、497など、0を作りやすい数が出てきたら、普通に筆算などで計算するよりも、0を作って計算する方が楽だと思いませんか?
引き算でも、次のように、0を含む数を作ることで、計算しやすくなることがあります。
★裏技
①573 - 99
=573-100+1
=473 + 1
=474
②183-97
=183-100+3
=83+3
=86
③325-297
=325-300+3
=25+3
=28
一見、計算が面倒そうに見えても、0が入っている数字を作れば、計算しやすくなることがわかってもらえましたか?
渡辺さんのように、面倒くさそうな計算でも頑張って解こうとする根性と小嶋さんのように0をうまく作って計算しようとする思考力をつけましょう!
同じ数の掛け算
11以上の同じ数の掛け算は、よく出てくるので暗記しておいた方がよいと思います。できれば、16×16ぐらいまで暗記しておくとよいでしょう。
★暗記
11×11=12112×12=144
13×13=169
14×14=196
15×15=225
16×16=256
なお、一の位は暗記する必要ありません。なぜなら、一の位は一の位同士の掛け算をすればよいだけだからです。
例えば、14×14なら、一の位が4と4なので、4×4=16で一の位は、6になるとすぐわかります。
この知識があれば、13×13も「一の位が3と3だから、3×3で、一の位は9だな」とすぐにわかります。なので、百の位と、十の位だけ暗記すればOKです。
なお、13×13=169と14×14=196は十の位と一の位が逆なだけなので、まずセットで覚えるとよいと思います。
また、16×16=256を「いろいろ煮込む」のように、語呂合わせなどを考えて、覚えるのも良いと思います。
同じ数の掛け算を覚えておくと、√144=12などの中3で習う平方根の計算でも役に立つので、ぜひ1つずつ暗記していってください。
グラフが絶対に書ける裏技
もしアナタが中学生の方なら、y=-x2やy=x3、高校生の方なら、y=x4のグラフを書けますか?「そんなの習っていないから無理」という感じでしょうか!?
グラフを書くのが、苦手な子も多いと思います。ところが「全くグラフが書けない!」という人でも、ある程度の計算ができれば、グラフが絶対に書ける裏技があるんです!
★裏技
グラフは、xy表を作って点を打ち込む
これは裏技というほどのことでもありません。なぜなら、この方法は、中学1年生のときに必ず習っている方法だからです。
しかし、学年が上がるにつれて、xy表を使わないような書き方を習うので、忘れてしまっている人が多いようです。
もう一度言いますが、「xy表を作れば、絶対にグラフが書けます!」ので、ぜひマスターしてください。その手順を今から説明します。
【問題】y=x+3のグラフを書いてみよう。
手順①下のようなxy表を作る。
xは-3~3となっていますが、-4~4や-5~5などでもOKです。 -5~5のように、xの値が多くなればなるほど、正確なグラフが書けます。
手順②xを代入してyを出す。
次に、y=x+3のxに-3~3の値をそれぞれ代入し、yの値を出します。
例えば、x=0をy=x+3のxに代入すると、
y=0+3
=3
となり、y=3ですね。今度はx=-2を代入してみると、
y=-2+3
=1
となって、y=1です。このように計算してxy表を完成させると下のようになります。
手順③表を参考に、点を打ち込む。
表を見ると、x=3のとき、y=6なので、点(3、6)を座標に打ちます。他にもxが-3~3までのyの値と対応するように点を打ちます。
なお、座標に点の打ち方がわからない人は、座標の求め方!数学のグラフを書くときに、絶対に覚えておきたい!を見てください。
※xy表のそれぞれの色が、座標の点と対応しています。
手順④打った点から、グラフを書く。
上図のように、点を7つも打つとグラフがどんな形になるか推測できますね。点の規則性から、点と点を線で結んでいきましょう。
すると、グラフは右図のように、直線になりそうですね。これでy=x+3のグラフの完成です!理解できましたか?
このように、グラフは規則的な点の集合でできているので、xy表を作って計算さえできれば、必ず書けます!
もし、この方法を理解できたら、中学生の子でも、高校で習うようなy=x3も書けるんですよ。ということで、もう1問解説します。
【問題】y=x3のグラフを書いてみよう。
手順①下のようなxy表を作る。
今回は、xが3/2=1.5(二分の三)などの分数も入れてみましょう。
手順②xを代入してyを出す。
y=x3のxに-2~2の値をそれぞれ代入し、yの値を出しましょう。
例えば、x=2なら、
y=23となり、y=8ですね。
また、x=-3/2 のときなら、
y=(-3/2)3
=-27/8
=約-3.4
となります。このように計算してxy表を完成させると下のようになります。
手順③表を参考に、点を打ち込む。
表を見ると、x=2のとき、y=8なので、点(2、8)に点を打ちます。他にもxが-2~2までのyの値と対応するように点を打ちます。
手順④打った点から、グラフを書く。
最後に、打ち込んだ点を結んでいくと右図のような曲線になります。これでy=x3のグラフの完成です。
「グラフは、xy表を作って点を打てば絶対に書ける!」という意味がわかりましたか?xy表を作るのに、少し時間がかかるのが欠点ですが、この方法でほとんどのグラフが書けます。
高校生の方なら、y=2x、y=sinx、y=log2xなどのグラフもこの方法で書けます。ぜひ、xy表を作って書いてみてください。
グラフが苦手な子でも「自分は、高校で習うようなy=x3やy=x4が書けるんだ!」という気になれれば、少しはグラフに対する自信がつきませんか?
「ほとんどのグラフは、xy表を作れば、絶対書ける」と上で説明しました。しかし、この方法はどうしても時間がかかる欠点があります。
なので、今回はy=-2x+4などのy=ax+bのグラフが速攻に書ける裏技を2つ紹介します。自分に合った方法を選んでいただけたらと思います。
★裏技
①切片をy軸に打つ
②xに0以外の値を代入してyを出す
上の2つの手順で、y=ax+bのグラフはすぐに書けます。それでは、解説していきます。
【問題】y=-2x+4のグラフを書いてみよう。
手順①切片をy軸に打つ。
切片(せっぺん)はy=ax+bのbの値のことです。つまり、y=-2x+4のグラフの切片は4となるので、y軸の4のところに点を打ちます。
座標で言うと(0、4)です。つまり、下図の赤い点です。
手順②xに0以外の値を代入してyを出す。
例えば、y=-2x+4のxに、x=3を代入してみましょう。
y=-2×3+4
=-6+4
=-2
となり、x=3のとき、y=-2なので、(3、-2)に点を打ち込みます(上の青い点の所)。これで赤と青の2つの点を打ちましたね。
後は、上の右図のように、打ち込んだ2点を結んで、グラフの完成です!このように、2つの点を打てたら、y=ax+bのグラフはすぐに書けます。
それでは、y=ax+bの直線が簡単に書けるもう1つの裏技を紹介します。
★裏技
①切片をy軸に打つ
②傾きの分子と分母に注目する
この裏技は、方眼紙が書いてある問題のときに便利な方法です。
【問題】y=-2/3x+4のグラフを書いてみよう。
(2/3は「3分の2」のことです。)
手順①切片をy軸に打つ。
手順①は先ほどと同じです。切片はy=ax+bのbの値のことです。
y=-2/3x+4のグラフの切片は4となるので、y軸の4のところに点を打ちます。座標で言うと(0、4)です。
手順②傾きの値の分母と分子に注目する。
傾きはy=ax+bのaの値のことです。つまり、y==-2/3x+4のグラフの傾きは-2/3となります。
この傾きの分母は3で、分子は-2です。実は、これで点の集まり方がわかります。
どういうことかというと、傾きが-2/3なら「点は分母の3だけx方向に進み、分子の-2だけy方向に進む」規則があるんです。
下図を見てください。
上図から、分母の3だけx方向に進み、分子の-2だけy方向に進んだところに点が集まってきているのがわかりますか?
例えば、手順①で求めた切片の点(0、4)から、x方向に3進み、y方向に-2進んだところの点は(3、2)ですね。
同様に点(3、2)から、x方向に3進み、y方向に-2進んだところにある(6、0)にも点を打つことができます。
この裏技を使えば、上図のように、すぐにたくさんの点を打つことができるので、グラフが書きやすいと思います。
なお、上の問題は傾きが分数でしたが、y=-2x+4やy=3x-2のように傾きが分数でないときのグラフはどう書けばいいかわかりますか?
最後に、傾きが分数でないときの分母と分子の考え方を解説します。傾きが、-2や3のような場合は分母を1にして考えます。例えば、
傾き-2=-2/1
のように、-2を「1分の-2」と考えてください。つまり、分母が1で、分子は-2ということになります。
これでy=-2x+4の点はx方向に1進むと、y方向に-2進むように集まることがわかり、下の左図のようになります。
y=3x-2なら、傾きが3なので、
傾き=3/1
のように、3を「1分の3」と考えれば、「x方向に1進むと、y方向に3進むんだな」とわかって、上の右図のようなグラフになります。
サイコロ2個の確率問題で使える裏技
確率は、中学二年生の学年末の時期に習います。また、高校の数学Aでも習う超重要な分野です。確率の問題で、特によく出題されるのがサイコロを使う問題です。
ここでは、「2個のサイコロを投げたときに、次の確率を求めよ」みたいな問題が出たときに使える裏技をご紹介します。
★裏技
6×6マスの表を作る!
この裏技の使い方を下の問題で解説していきます。
【問題】2個のサイコロA、Bを投げたとき、次の確率を求めよう。
①2つの目の積が12になる
②2つの目の積が奇数になる
まず、下のような6×6=36マスの表を作ってください。後は、条件に合うところに〇をするだけです。
例えば、2つの目の積が12になるのは、6×2と2×6と4×3と3×4なので、6・2、2・6、4・4、3・4のマスに〇を入れて完成です。
2個のサイコロを使う問題が出題された瞬間に、この表を作る癖をつけておきましょう。個人的にこの解き方が一番速く解ける方法だと思います。
解の公式の裏技公式
中学3年生で「解の公式」を習いますが、「通常の解の公式」より素早く解を出すことができる「裏技の解の公式」があります。それが下の公式です。
★裏技公式
この裏技は、数学Ⅱの教科書に載っていることが多いので、知っている人は多いと思います。アナタはこの公式を使っていますか?
高校数学では、かなり利用価値がある公式なので、ぜひ使いこなせるようにしてください!私もこの公式には非常にお世話になっています。
ただし、この裏技公式はx2+2x-4=0や2x2-4x+1=0のように、bの値が2や-4などの偶数のときのみ使えます。
x2+x-4=0や2x2-3x-1=0のように、bの値が1や-3などの奇数のときは使えませんので、注意してください。
それでは、通常の解の公式と裏技公式の違いを比べながら、下の問題を解いてみます。
【問題】x2+2x-4=0を解いてみよう。
通常の公式と、裏技公式の違う点は3つあり、①分母がa、②bが半分、③ルートの中がacになっているところです。それでは、もう一つの問題を紹介します。
【問題】2x2-4x+1=0を解いてみよう。
2つの問題を紹介しましたが、違いがわかりましたか?少なくとも、裏技公式を使うと計算量が少なくなることは明らかですね。
しかし、使いこなせるまでは、かなりの練習がいりますし、「通常の公式と似ているので、覚えにくい!」と思う方もいるかもしれません。
もちろん、そのように思う方は、通常の解の公式のみ知っておけば大丈夫です。
ただ、少しでも「計算を楽にしたい!」と思う方や、センター試験などの時間制限が厳しい試験を受験する方は、絶対覚えておいた方が良いと個人的には思います。
加法定理を覚えやすくする裏技
加法定理のsin(α+β)やcos(α+β)を覚えやすくする語呂合わせがあります。
★裏技
sin(α+β)は「咲いたコスモス、コスモス咲いた」
cos(α+β)は「コスモスコスモス、咲いた咲いた」
この歌詞を覚えておくと、sin(α+β)やcos(α+β)の公式が覚えやすくなります。利用法は、下の画像を参考にしてください。
注意すべき点は、2つあります。
1つ目は、sinαcosβのように、αとβを交互に書くことです。
2つ目は、sin(α+β)なら真ん中の符号がプラスとなり、sin(α-β)なら、真ん中の符号はマイナスになることです。
これらのことは歌詞に出てこないので、覚えてもらうしかありません。
なお、sin(α+β)は、サインということて、「サイン → 咲いた」つながりで、「咲いた」の歌詞から始まると覚えておくと良いと思います。
では、次にcos(α+β)の覚え方です。
cos(α+β)も注意すべき点は、2つあります。
1つ目は、cosαcosβのように、αとβを交互に書くことです。
2つ目は、cos(α+β)なら真ん中の符号がマイナスとなり、cos(α-β)なら、真ん中の符号はプラスになることです。
sin(α+β)のときとは、符号が逆になるのがポイントですね。
なお、cos(α+β)は、コサインということて、「コサイン → コスモス」つながりで、「コスモス」の歌詞から始まると覚えておくと良いと思います。
最後にtan(α+β)の覚え方です。tan(α+β)は、下の歌詞を覚えてください。
★裏技
tan(α+β)は「タンプラタンノマイタンタン」
言葉の意味は、特にありませんが、リズムで覚えておくと良いと思います。
この歌詞を覚えておくと、tan(α+β)の公式が覚えやすくなります。
では、この歌詞の使い方も下の画像を参考にしてください。
タンプラタンノの「ノ」は、数字の1を意味します。
この公式を覚えることができれば、tan(α-β)は、分子のプラスと分母のマイナスをひっくり返すだけで覚えられます。
全学年にオススメの裏技や公式
ここでは、誰もが使える全学年向けの裏技公式などを紹介しています。
2桁×11で使える裏技
分子と分母を覚えやすくする裏技
分数の足し算や引き算ができる裏技
時速〇kmを秒速△mにする裏技公式
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2桁×11で使える裏技
23×11や、48×11など、2桁×11の計算のときに使える便利な裏技があります。例えば、二桁の数ABと11をかけるときなら、
★裏技
AとBの間にA+Bを入れる
ことで、一瞬で計算できます。上の説明だけだとわかりにくいので、例をあげて解説します。
【問題】23 × 11を計算してみよう。
二桁の数は23なので、A=2、B=3です。よってA+Bは2+3で5ですね。この5を2と3の間に入れるだけです。つまり、
23
↓
253
という感じで、百の位を2、十の位を5、一の位を3にして終わりです。よって、23 × 11=253です。では次のパターンです。
【問題】48 × 11を計算してみよう。
二桁の数は48なので、A=4、B=8です。A+Bをすると12となり、10を超えてしまいました。
もしA+Bが10を超えた場合は、百の位に1を足せばOKです。つまり、下のように頭を動かしてください。
48
↓
4(12)8↓
528
4と8の間に12を入れて、百の位に1を足し、十の位は2を使うという感じです。よって、48×11の答えは528です。
11はとても不思議な数ですね。数字の組合せは、色々あるので、違うパターンの問題を自分で試してみてください。「習うより慣れろ!」です。
分子と分母を覚えやすくする裏技
私は、小学生のころ「分子と分母ってどっちが上だっけ?」って悩むことがよくありました。
アナタも分子と分母が、分数の真ん中の線【括線(かっせん)】の上なのか下なのか迷ったことはありませんか?もし迷うなら、この裏技です!
★裏技
母が子をおんぶして、子は上にくる
分子が上なのか下なのか覚えていない子は、「おんぶ」をイメージしてください。母と子、おんぶをするのは、普通はお母さんですね。
子どもは、おんぶされることで、母の上にくると覚えると、「分子は上」「分母は下」と覚えやすくなると思います。
または、「子供は肩車をされるから、分子が上!」と覚えてもよいかもしれませんね。
分数の足し算や引き算ができる裏技
分数の足し算や引き算は、小学生の子の多くが「嫌い!」という分野です。
一時期、「分数ができない大学生」という本が流行ったように、大学生や大人の人でさえも、分数の計算ができない人もいます。
分数の計算ができない人が多いのはなぜでしょうか?その理由の1つは「通分ができないから」だと私は思います。以下の問題を見てください。
①の計算なら、解ける人も多いと思いますが、②はどうでしょうか。ある程度、分数計算ができる人でも、②の計算ができない人もいるかもしれません。
しかし、分数の計算ができない人にとっては、①も②もわからないことでしょう。そこで、通分ができない人でも、分数の足し算や引き算ができる裏技を紹介します。
★裏技
分母同士は掛けて、分子は斜め掛けする!
言葉ではわかりにくいと思いますので、下の問題で解説します。
①の計算
②の計算
分子は、相手の分母を掛けることになるので、斜め掛けになる感じです。この裏技を使えば、通分ができない人でも分数の足し算や引き算ができます。
時速〇kmを秒速△mにする裏技公式
時速を秒速にすぐに変換できる裏技を紹介します。
速さの単位変換は、普通に解くと、結構時間がかかります。
特に、「秒速〇m ⇔ 時速△km」の変換は、中学受験やSPI試験などに出題頻度が高いので、ぜひマスターしておきましょう。
★裏技公式
秒速〇m = 時速△km ÷ 3.6
時速△kmを3.6で割れば、秒速〇mにかえることができるという公式です。この方法は、京都大学卒業の「ヒャダイン」さんが、テレビで使っていたものです。
それでは、この公式の使い方を、今から例題を使って解説していきます。
【問題】時速36kmは秒速何mか。
時速△kmを秒速〇mに変える問題なので、上の公式を使えば簡単に答えが出せます。
秒速〇m = 時速△km ÷ 3.6
=36 ÷ 3.6
=10
(答え)秒速10m
時速が36kmなので、36÷3.6をするだけで、秒速〇mがすぐにわかります。今度は、秒速〇mを時速△kmに変える問題をやってみましょう。
【問題】秒速10mは時速何kmか。
これも上の公式を使えば簡単に答えが出せます。
秒速〇m = 時速△km ÷ 3.6
10=時速△km ÷ 3.6
時速△km =10 × 3.6
= 36
(答え)時速36km
時速△kmを3.6で割れば、秒速10mが出るので、逆に秒速10mに3.6をかければ、時速△kmが出るとも考えればOKです。
それでは、最後に一番最初にあった画像の問題を解説して終わります。
【問題】2時間20分で42km走る人の速さは、秒速何mか。
速さを求める問題は、中学受験でも非常に出やすいテーマなので、親御様からお子さまにぜひ教えてやってください。
中学生にオススメの裏技や公式
ここでは、中学数学や高校数学で使える裏技や公式を紹介します。中学生や高校生の方はぜひ見ていってください。
円すいの側面積の中心角を簡単に出せる裏技公式
図形の公式を覚えやすくする裏技
球の表面積と体積の公式を覚えやすくする裏技
y=ax+bの変化の割合を求める公式
y=ax2の変化の割合を求める公式
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円すいの側面積の中心角を簡単に出せる裏技公式
問題によっては、円すいの側面積である「扇形の中心角を出して」ときいてくることがあります。そこで、扇形の中心角を簡単に出せる方法も紹介しておきます。
★裏技公式
円すいの側面積の中心角 = 360 × 半径 ÷ 母線
円すいの半径と360をかけて、母線で割ればOKです。母線とは、下図の6cmの部分ところです。それでは、この公式を使ってみます。
【問題】下図の側面積の中心角を求めよう。
図から、母線=6、円の半径=3なので、裏技公式を使うと、
中心角 = 360 × 半径 ÷ 母線
= 360× 3 ÷ 6
= 180
(答え)180°
この問題は、中学1年の学年末テストで出やすい問題です。なので、中1の方は覚えておくと役に立つかもしれませんよ!
図形の公式を覚えやすくする裏技
円の円周や面積、球の表面積や体積の公式など、図形の公式をアナタは即答できますか?
これらの公式は、非常によく似ているので、「ややこしくて覚えにくい、覚えられない!」と思っている人も多いと思います。
私も、小学生の頃は、円周の公式と円の面積の公式を逆に覚えてしまったりして、よくわからなくなることが多々ありました。
指導をしていても、「直径×円周率」と「半径×半径×円周率」は覚えているのに、どちらが円周の公式と円の面積の公式なのかをあやふやにしている子もいるようです。
そこで、図形の公式を少しだけ覚えやすくする裏技を紹介します。
★裏技
面積なら、長さを2回かける
体積なら、長さを3回かける
例えば、長さの代表的な単位としてcmがありますね。そして、面積の代表的な単位として、cm2がありますよね。
これは、「へいほうセンチメートル」と言って、cm2はcmを2回かけていることを意味します。つまり、
cm2 = cm × cm
です。cm × cmは、長さを2回かけるということを意味するので、面積を出すときには、長さを2回かける必要があるんです。
同様に、体積の代表的な単位として、cm3がありますね。これは、「りっぽうセンチメートル」と言って、cm3はcmを3回かけていることを意味します。つまり、
cm3 = cm × cm × cm
なんです。cm × cm × cmは、長さを3回かけるということを意味するので、体積を出すときには、長さを3回かける必要があるんです。
これらのことを意識して、下の公式を見てください。(半径の長さはcmとしておきます。)
円の円周(cm)= 直径 × π
円の面積(cm2)= 半径 × 半径 × π
球の表面積(cm2)=4 × 半径 × 半径 × π
球の体積(cm3)= 4/3 × 半径 × 半径 × 半径 × π
円の円周なら、長さの単位はcmなので、長さである直径を1回かけるだけです。
円の面積や球の表面積なら、面積の単位はcm2なので、長さである半径を2回かけています。
球の体積なら、体積の単位はcm3なので、長さである半径を3回かけているのがわかると思います。
このように、単位の意味を理解しておくと、私のように円の円周や面積の公式を逆に覚えてしまったり、半径のかける回数を間違ったりするミスは防ぐことができると思います。
面積や体積の公式を覚えるときは、単位の意味から「長さを何回かけないといけないのか」を意識しておくと覚えやすくなると思います。
球の表面積と体積の公式を覚えやすくする裏技
図形の公式は、図形の公式一覧!図形の面積と体積はこれでバッチリ!にまとめましたが、覚えるのに苦労されている方も多いでしょう。
ここでは、球の表面積と体積を覚えやすくする裏技を紹介します。まだ暗記していない人は、よかったら参考にしてください。
★裏技
球の表面積は「しんぱいあるある」
球の体積は「みのうえにしんぱいあるさ」
「心配あるある」や「身の上に心配あるさ」だけでは、何のことかわからないと思いますが、下の画像を見ていただけたら、その意味がわかると思います。
球の表面積の公式は4πr2です。πは円周率、rは球の半径を意味します。
なお、半径は英語で「radius」と書くので、頭文字のrが半径の意味で使われることが多いです。
語呂合わせの「しんぱい」は「4π」を、「あるある」は、「r2」を意味します。「心配あるある」で4πr2です。
また、「みのうえにしんぱい」は「3の上に4π」を表し、「あるさ」は「r3」を意味します。「3(身)の上に心配あるさ」で4πr3/3ですね。
y=ax+bの変化の割合を求める公式
y=ax+bのような一次関数の変化の割合は、知ってたら、本当に簡単に求められます。その時間わずか1秒!
★公式
y=ax+bの変化の割合はa
これは裏技公式ではありません。中学2年生の数学の教科書に絶対に載っています。ただ、中3の方や高校生の方は忘れている人も多いのではないでしょうか?
忘れてしまった方は、下の問題で公式の使い方の確認をしてください。超簡単ですよー。
【問題】y=-2x+4の変化の割合を求めよう。
y=ax+bの変化の割合は、公式にあるように、y=ax+bのaの値のことです。つまり、y=-2x+4の変化の割合は-2となります。
もっと簡単に言うと、xの前にある数字-2を言えば終わりです。なお、y=ax+bの変化の割合のことを「傾き」ということもあります。
【問題】y=3x-4のxの値が-3から-1まで増加するときの変化の割合を求めよう。
問題によっては、「xの値が〇から△に増加するときの変化の割合を求めなさい」と聞いてくることがあります。なんだか難しそうですね。
でも、xの値が〇から△にどのように増加しようが関係ありません。y=ax+bなら、変化の割合は、絶対にaです。
よって、y=3x-4の変化の割合は3です。「xの値が-3から-1まで増加する」などと書いてありますが、変化の割合を出すだけならそんな情報はどうでもいいんです。
y=ax2の変化の割合を求める裏技公式
上では、y=ax+bの変化の割合を求める公式を紹介しましたが、今回はy=ax2の変化の割合を簡単に求められる裏技公式を紹介します。
★裏技公式
xの値が〇から△まで増加するとき、
変化の割合 = a ×(〇+△)
それでは、この公式の使い方の解説です。
【問題】y=-2x2のxの値が-5から-2まで増加するときの変化の割合を求めよう。
y=ax2の〇から△までの変化の割合は、裏技公式にあるように、ax(〇+△)です。今回の問題ならa=-2、〇=-5、△=-2なので、
変化の割合 = a x(〇+△)
=-2 ×{-5+(-2)}
=-2 ×(-7)
=14
(答え)14
となります。今回の問題は、中3の「二次関数」という分野でよく出てくる問題なので、中3の方は覚えておくと便利ですよ。
高校生にオススメの裏技や公式
ここでは、高校数学で使える裏技を紹介しています。また、センター試験や化学などの他教科で役に立つ情報を紹介しています。
必要条件、十分条件の覚え方
正四面体の体積や高さをすぐに出せる裏技公式
未定係数法
センター試験の裏技
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必要条件と十分条件を覚えやすくする裏技
いきなり問題です!
【問題】x=4は、(x-4)(x-2)=0であるための何条件か。
まずx=4ならば、(x-4)(x-2)=0が成立するかを考えます。x=4より、
(x-4)(x-2)
=(4-4)(4-2)
=0・2
=0
より、結論の(x-4)(x-2)=0が成立しますね。
次に、逆の(x-4)(x-2)=0ならば、x=4が成立するかを考えます。
(x-4)(x-2)=0よりx=2と4なので、
x=2とすると、結論のx=4が成立していませんね。
これらを図式化すると以下のようになります。
これらを図式化すると以下のようになります。
さて、ここからが本題です。
x=4は(x-4)(x-2)=0であるための何条件でしょうか?
私は高校生のときに、この問題の答えが十分条件なのか必要条件なのか迷うことがよくありました。アナタは大丈夫ですか?
もし、アナタも私のように迷うようでしたら、下の裏技を覚えてみてください。
★裏技
チワワならば、犬だと「十分」にわかる
それでは、上の裏技を説明をするために、下の画像を見てください。
見ていただきたいのは、奥の住職さんではなく、手前のチワワです。ここで、〇×クイズです。
チワワならば、犬である。
答えが〇か×かを考えていただきたいのですが、答えは普通〇ですよね。「チワワ」と聞けば、「犬だと十分にわかる」と思います。では逆に、
犬ならば、チワワである。
この〇×クイズは、どうでしょうか?「犬」と聞いても、絶対に「チワワ」であるとは限りませんよね。
人によっては、「柴犬」とか「ゴールデンレトリバー」など、違う種類の犬を考える人もいるかもしれません。なので、答えは×です。
さて、このクイズを図式化すると以下のようになります。
上のような関係が成り立つとき、「チワワは、犬であるための十分条件である。」と言います。特に、 数学では、PはQであるための十分条件といいます。
上の図は、最初に出した「x=4は、(x-4)(x-2)=0であるための何条件か」と同じ関係ですね。
よって、最初に出した問題は、チワワと同じ図式なので、x=4は、(x-4)(x-2)=0であるための十分条件となります。
このチワワの図式を覚えておけば、PならばQが正しくて、QならばPが間違いだったとき、Pが十分条件なのか必要条件なのか迷わなくて済むと思います。
なお、必要条件や十分条件の問題をもっと解いてみたい人は必要条件、十分条件の問題!意味やコツは、この図の覚え方でOK!を見てください。
正四面体の体積や高さをすぐに出せる裏技公式
正四面体の体積や高さは、普通に求めると時間がかりますが、1辺の長さがわかっていると、すぐに出すことができる裏技公式があります。
裏技公式
aは正四面体の1辺の長さのことです。下の問題のように、1辺の長さが2とわかっていたら、正四面体の体積は簡単に求めれます。
【問題】1辺の長さが2の正四面体の体積を求めよう。
例えば、早稲田大学の過去問で、「一辺の長さが1の立方体がある。この立方体の8個の頂点のうちの4個を頂点とする正四面体の体積を求めよ。」などが出題されています。
今回は、数学の裏技公式などを紹介してきましたが、いかがだったでしょうか?「これは使えるな!」と思ったものがあれば、ぜひ使えるように練習してください。
もし、アナタが知っている裏技や公式などが他にもありましたら、コメント欄より教えていただけるとうれしいです!
コメント
コメント一覧 (20)
受験生なので助かりました!!!
コメントありがとうございます。
かなり文字数が多いので、見にくい部分もあるとは思いますが、役に立ったのなら良かったです。
ありがとうございます!!!!
急いでる時に、パッと見れて、
とても良かったです!!!👍
コメントありがとうございます。私も中1の子に空間図形を現在指導中です。
円錐の表面積や体積は、かなりの確率で出題されると思うので、得点源にできるといいですね。
また解らないことがあったらこのサイトを読んでみようと思いました。
ありごとうございました
ご訪問ありがとうございます。それほど丁寧にはまとめてはいませんが、少しでも役に立ったなら幸いです。受験頑張ってください。
これをノートに書いて毎日音読するようにすれば自分もできそうな気がします!
Thank you very much.Please come again.
Great site, ҝeep it սp!
コメントありがとうございます。普通の解の公式なら、bが偶数でなくても、おっしゃる通り、x=[-b±√b²-4ac]÷2aで解けますね。
で、偶数関係なく解けませんでしたっけ?
こちらこそ、ご訪問いただきありがとうございます。またお褒めいただき感謝です。
ご訪問ありがとうございます。扇形の面積の公式で、確かにS=lr/2(S:面積 l:弧の長さ r:半径)もありますね。
他にも紹介したい裏ワザ公式はたくさんありますが、最近、更新ができていないので、次回のネタの参考にさせていただきます。アドバイスありがとうございました。
扇形の面積の公式で、
S=lr/2(S:面積 l:弧の長さ r:半径)
を載せたらどうでしょうか。
ご指摘ありがとうございました!間違っている部分が他にもあるかもしれませんので、発見次第、お伝えいただけると助かります!
問題から分母が入れ替わっていますよ
高校生対象の数学裏技も、徐々に載せていくつもりですので、また遊びにいらしてください。
参考にさせていただきます!高校で使えるような他の裏技をぜひもっと教えてください。