本日は4STEP数Ⅰの解説や解答をこの記事で紹介していきます。4STEPは数研出版が出している問題集です。
4STEPは多くの高校で使われているので、知っている学生さんも多いのではないでしょうか?私も、この4STEPを高校の時に宿題としてさせられていました。
そして、知っている方なら、共感してもらえると思いますが、この4STEPは「とにかく問題の数が多い!」と思いませんか?
しかも、学校によっては、なぜか4STEPの解説や解答を渡さない所があります。おそらく、数学が苦手な人なら、心が折れそうになる問題集だと思います。
なので、4STEPを「わからない!難しい」と思われている方に、今回はコメントで「この問題の解説がほしい」とリクエストされたものを紹介します。
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4STEPの集合と命題
ペンネーム「みきしん」さんからいただいた質問です。4STEP、数Ⅰの102
【問題】a、bは実数とする。次の命題の真偽を調べよ。
(1)ab=0ならばa2+b2=0である。
(2)abが有理数ならば、a、bはともに有理数である。
(3)a+b、abがともに有理数ならば、a、bはともに有理数である。
(1)の解説、解答
明らかに偽である。反例は、a=0、b=3。
このとき、ab=0だが、
a2+b2
=0+9
=9
となり、結論であるa2+b2=0にはならない。
4STEP、数Ⅰの105
【問題】次の命題の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定の真偽を求めよ。
(1)すべての実数xについて(x-1)2≠0である。
(2)ある自然数nについてn2=5n
(1)の解説、解答
「すべてのxについてpである」の否定は、
「あるxについてpでない」
という知識を利用する。
よって、すべての実数xについて(x-1)2≠0の否定は、
ある実数xについて(x-1)² = 0
である。
すべての実数xについて(x-1)2≠0の真偽は、偽である。
反例は、x=1。このとき、(x-1)2=0となる。
ある実数xについて(x-1)2= 0の真偽は真である。なぜなら、ある実数がx=1なら、(x-1)2=0となるから。
(2)の解説、解答
この問題も「あるxについてpである」の否定は、
「すべてのxについてpでない」
という知識を利用するだけ。
よって、ある自然数nについてn2=5nの否定は、
すべての自然数nについてn2≠5nである。
ある自然数nについてn2=5nの真偽は、真である。なぜなら、n=5のときn2=5nとなるから。
すべての自然数nについてn2≠5nの真偽は、偽である。
反例はn=5。このとき、n2=5nとなるから。
4STEP、数Ⅰの108
(1)の解説、解答
(2)の解説、解答
(3)の解説、解答
ペンネーム「眠い」さんからいただいた質問です。
4STEP、数Ⅰ
【問題】a、bは整数とするとき、次のことを背理法を用いて証明せよ。
(1)abが奇数ならば、a、bはともに奇数である。
(2)abが偶数ならば、a、bの少なくとも一方は偶数である。
(1)の解説、解答
「a、bともにpである」の否定は、
「a、bの少なくとも一方はpでない。」
を知っているかがポイントとなる。
例えば、
「a、bはともに奇数」の否定は
「a、bの少なくとも一方は偶数」
となる。
背理法により、
「abが奇数ならば、a、bの少なくとも一方は、偶数である」
と仮定する。
aを偶数、bを奇数とすると、
a=2m
b=2n+1(m、nは整数)
とおける。ここで、
ab=2m(2n+1)
=2(2mn+2)
となるので、abは偶数となる。しかし、abは条件より奇数なので、この等式は矛盾する。よって、もとの題意は正しい。
(2)の解説、解答
背理法により、
「abが偶数ならば、a、bともに奇数である」
と仮定する。
a、bは奇数なので、
a=2m+1
b=2n+1(m、nは整数)
とおける。ここで、
ab=(2m+1)(2n+1)
=4mn+2m+2n+1
=2(2mn+m+n)+1
となるので、abは奇数となる。しかし、abは条件より偶数なので、この等式は矛盾する。よって、もとの題意は正しい。
4STEP、数Ⅰの110
(1)n2が5の倍数ならば、nは5の倍数である。
(2)mnが3の倍数ならば、m、nの少なくとも一方は3の倍数である。
(1)の解説、解答
もとの命題の対偶をとると、
「nが5の倍数でないならば、n2は5の倍数でない」
となる。
nは5の倍数でないので、
n=5m-1、5m-2、5m-3、5m-4(mは整数)
とおける。
①n=5m-1のとき、
n2=(5m-1)2
=25m2-10m+1
=5(5m2-2m)+1
となり、n2は5の倍数でない。
②n=5m-2のとき、
n2=(5m-2)2
=25m2-20m+4
=5(5m2-4m)+4
となり、n2は5の倍数でない。
③n=5m-3のとき、
n2=(5m-3)2
=25m2-30m+9
=5(5m2-6m+1)+4
となり、n2は5の倍数でない。
④n=5m-1のとき、
n2=(5m-4)2
=25m2-40m+16
=5(5m2-8m+3)+1
となり、n2は5の倍数でない。
①から④より、対偶が真なので、もとの命題も真。
(2)の解説、解答
もとの命題の対偶をとると、
「m、nともに3の倍数でないならば、mnは3の倍数でない」
となる。
m、nは3の倍数でないので、
m=3a+1、3a+2(aは整数でnも同様)
とおける。
①m=3a+1、n=3b+1(bは整数)のとき、
mn=(3a+1)(3b+1)
=9ab+3a+3b+1
=3(3ab+a+b)+1
となり、mnは3の倍数でない。
②m=3a+1、n=3b+2(bは整数)のとき
、
mn=(3a+1)(3b+2)
=9ab+6a+3b+2
=3(3ab+2a+b)+2
となり、mnは3の倍数でない。
③m=3a+2、n=3b+2(bは整数)のとき
、
mn=(3a+2)(3b+2)
=9ab+6a+6b+4
=3(3ab+a+b+3)+1
となり、mnは3の倍数でない。
①から③より、対偶が真なので、もとの命題も真。
ペンネーム「名無し」さんから質問された問題です。
4STEP、数Ⅰの110
4STEP、数Ⅰの112
【問題】p、qが有理数、Xが無理数で、p+qX=0であるならば、p=0、q=0であることを証明せよ。
(1)の解説、解答
ペンネーム「通報部隊」さんからいただいた4stepの質問です。
4STEP、数Ⅰの113
【問題】次の等式を満たす有理数p、qの値を求めよ。
(1)の解説、解答
(2)の解説、解答
4STEP、数Ⅰ
【問題】nは整数とする。次のことを証明せよ。
(1)n2+5n+4は偶数である。
(2)n2+1は3の倍数でない。
(1)の解説、解答
nは整数なので、奇数か偶数となり、
n=2m-1とn=2m(mは整数)
とおいて、場合分けで考える。
①n=2m-1のとき、
n2+5n+4
=(2m-1)2+5(2m-1)+4
=4m2+6m
=2(2m2+3m)
よって、偶数となる。
②n=2mのとき、
n2+5n+4
=(2m)2+5(2m)+4
=4m2+10m+4
=2(2m2+5m+2)
よって、偶数となる。
①、②より、題意をみたす。
(2)の解説、解答
n=3m、3m+1、3m+2(mは整数)とおいて場合分けする。
①n=3mのとき、
n2+1
=(3m)2+1
=9m2+1
=3×3m2+1
よって、3の倍数ではない。
②n=3m+1のとき、
n2+1
=(3m+1)2+1
=9m2+6m+2
=3(3m2+2m)+2
よって、3の倍数ではない。
③n=3m+2のとき、
n2+1
=(3m+2)2+1
=9m2+12m+5
=3(3m2+4m+1)+2
よって、3の倍数ではない。
①~③より、題意をみたす。
4STEPの三角比
ペンネーム「まほっち」さんからいただいた、4stepの質問です。
4STEP、数Ⅰの243(3)
【問題】(sin70°+sin20°)2 -2tan70°cos2 70°の値を求めよ。
解説、解答
※訂正※ 下から3行目のsin70°は誤字で、正しくはsin2 70°です。
4STEP、数Ⅰの243(3)
(1)の解説、解答
三角比の角度をすべて10°に変換すれば計算できる。
cos(90°-θ)=sinθより、
cos80°
=cos(90°-10°)
=sin10°
sin(90°+θ)=cosθより、
sin100°
=sin(90°+10°)
=cos10°
cos(180°-θ)=-cosθより、
cos170°
=cos(180°-10°)
=-cos10°
sin10°cos80°-sin100°cos170°
=sin10°sin10°-cos10°×(-cos10°)
=sin2 10°+cos2 10°
=1
(2)の解説、解答
(3)の解説、解答
sin(90°+θ)=cosθ、
sin(180°-θ)=sinθ、
cos(90°+θ)=-sinθ、
sin(90°-θ)=cosθより、
sin2(90°+θ)+sin2(180°-θ)+cos2(90°+θ)+sin2(90°-θ)
=(cosθ)2+(sinθ)2+(-sinθ)2+(cosθ)2
=cos2θ+sin2θ+sin2θ+cos2θ
=2(cos2θ+sin2θ) …A
cos2θ+sin2θ=1より、
A=2
今回は4STEP数Ⅰの解説や解答を紹介してきました。4stepのわからない問題の解説・解答がほしい方は、お気軽にコメント欄で、三重の家庭教師にまでご連絡ください。
また、誤字・脱字、間違い等を見つけた方も、教えていただけると幸いです。
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コメント
コメント一覧 (6)
コメントありがとうございます。それでは、数日中に解説させていただきますので、またご訪問していただけたらと思います。
いきなりのコメント失礼します……
4ステップの数IIの演習問題Aの3(1)~(3)までを教えていただいてもよろしいでしょうか?!
よろしくお願いします🙇
返信遅くなりました。記事をアップしましたので、参考になれば幸いです。
答えを見てもいまいちわからなかったので。。。
コメントありがとうございます。4steoの解説、解答をさせていただきましたので、ご確認ください。また、わからない点がありましたら、お気軽にご相談ください。
さっそくですが、数Ⅰの4step、243(3)と、255を全て教えてください!
厚かましいお願いですが、よろしくお願いしますm(_ _)m