この記事では、4stepの解説や解答を紹介していきます。「整数の性質」は、旧課程ではなかった新課程の内容であり、2015年以降のセンター試験や大学入試でどのように出題されるかが注目の分野です。
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「整数の性質」は新課程の内容ですが、今まで中学受験や大学入試でよく出題される分野でした。ただ、解き方が独特のため、苦手な人が多い分野だと思います。

また、「公倍数や、公約数、最大公約数、最小公倍数、素因数、互いに素」など、よく似た言葉が出てくるので、その言葉の意味を理解しにくいということも厄介にしている原因といえます。

整数の性質の4stepなどの問題解説に入る前に、「 2個の数AとBは互いに素(そ)である」と「2個の数AとBの最大公約数と最小公倍数を求める方法」という知識はよく使うので、そのことを確認しておきます。



■2個の数AとBが互いに素
まず、「2個の数AとBが互いに素」の意味の確認です。
【2個の数AとBが互いに素】 AとBは、1以外の公約数がないこと(1以外の、同じ数では割れないこと)
言葉では、非常にわかりにくいと思いますので、以下の例で、「2個の数AとBは互いに素」であるという意味を理解してください。

例:  3と5  → 3と5は、1でしか割れないため、互いに素である。
    8と11 → 8と11は、1でしか割れないため、互いに素である。

    4と8  → 4と8は、1以外の数で割れる(例えば、2で割れる)ため、互いに素でない。
   15と18 → 15と18は、1以外の数で割れる(例えば、3で割れる)ため、互いに素でない。


互いに素であるかないかの別の解き方として、素因数分解をして出てきた数字が1つも同じものがなければ、2つの数字は互いに素だと判断できます。

例:  14と9   14=2×7 → 出てきた数字は、2と7
             9=3×3 → 出てきた数字は、3

14と9は、素因数分解をしたとき、1つも同じものがないので、互いに素です。

例:  15と9   15=×5 → 出てきた数字は、と7
             9=×3 → 出てきた数字は、

6と15は、素因数分解をしたとき、どちらもが出てきます。なので6と15互いに素ではありません。

 

■2個の数AとBの最大公約数と最小公倍数を求める方法
まず、「最大公約数と最小公倍数」の意味の確認です。
【最大公約数】 2つ以上の正の整数に共通な約数(公約数)のうち、一番大きい数のこと。
例:12と16の公約数(12と16、どちらも割れる数のこと)は、1、2、です。これらの数で一番大きい数は、なので、4が最大公約数となります。


【最小公倍数】 2つ以上の正の整数の共通な倍数(公倍数)のうち、一番小さい数のこと。
例:2と3の公倍数(2と3に共通な倍数のこと)は、、12、18、24・・・で、これらの数で一番小さい数は、なので、6が最小公倍数となります。


それでは、2個の数AとBの最大公約数と最小公倍数を求める方法を紹介します。例えば、24と36の最大公約数と最小公倍数を求める方法を例にします。まず24と36を、下のように素因数分解と同じような感じで割っていきます。なお、共通な数で割れなくなる(互いに素)まで割っていきます。

2 ) 24 36
2 ) 12 18
3 )  6  9
         ←は、共通な数で割れない(互いに素)ので、ここでストップ。

このように、素因数分解することで、最大公約数と最小公倍数がわかります。まず、左の列のをかけた2・2・3=12が24と36の最大公約数になります。


次に最小公倍数の出し方ですが、左の列のと、下に残ったをかけた、()×()=72が、24と36の最小公倍数となります。


※この方法で、最大公約数と最小公倍数が求めることができる理由を以下に紹介します。少し難しい内容なので、知りたい人だけ参考にしてください。
【左の列のをかけた12が24と36の最大公約数になる理由】

素因数分解から、24=12
           36=12

ということがわかり、24、36のどちらの数も共通な数が12の積からなり、これは、24、36のどちらも12で割ることができるという意味になるからです。


【左の列のと、下に残ったをかけた72が、24と36の最小公倍数になる理由】

24と36の最小公倍数を〇であらわすと、 〇は24でも36でも割り切れるので、  
〇=24×☐=12××☐ ・・・①
〇=36×△=12××△ ・・・② と表せます。

①=②より、12××☐=12××△となり、計算すると、×☐=×△となります。
この等式が成立するためには、☐=、△=ならOKとなります。よって、〇=12××☐=12××=72となります。

結局、最小公倍数を出すには、左の列のと、下に残ったをかけた数ということになります。



これらのことから、次の重要な公式が成立します。整数の性質では、よく使う公式ですので、ぜひ覚えておきましょう。

公式  A=×、  B=× のとき、最大公約数は、最小公倍数は××です。
     このとき、の両方をわることができる数は、1のみです(は互いに素)。

 例:  24と36の最大公約数と最小公倍数
     24=12×、 36=12× なので、最大公約数は12、最小公倍数は12××=72です。



それでは、ここからは、「整数の性質」に関係する4stepの問題などの解説や解答をしていきます。ペンネーム「急上昇」さんからいただいた、4stepの質問です。
(1)45の倍数で正の約数が15個である自然数nをすべて求めよ。
(2)200以下の自然数のうち、正の約数が10個である数の個数を求めよ。
4step(1)の解説
ある数Aの約数の個数の出し方は、ある数A=p・qと素因数分解できたとき、約数の個数=(+1)(+1) となる。例えば、144の約数の個数なら、144=2・3 と素因数分解できるので、約数=(+1)(+1)=15 となる。

このことから、約数の個数が15になるような数は、2・3、7・3、 214などがある。つまり、約数の数が15になるような数は、p、qは素数とし、p・qかp14のように素因数分解できたらOKとなる。


4step(1)の解答
45の倍数=45k=3・5・kとおけるので、3と5を素因数にもつ数である。 約数が15になるのは、3と5の素因数を2つもつことから、3・5か3・5となるときである。 よって、n=3・5か3・52025か5625


4step(2)の解答
正の約数を10個もつ数をAとすると、pとqは互いに素の数として、 A=pまたは、A=p・qとおける。
①A=pで、自然数A≦200を満たすような素数pは存在しない。(例:2=512で200より大きくなり不適合)

②A=p・qで自然数A≦200を満たすような素数p、qの組は

(p、q)=(2、3)  → A=2・3=162となり条件を満たす。
    =(3、2)  → A=3・24=48となり条件を満たす。
    =(5、2)  → A=5・2=80となり条件を満たす。
    =(7、2)  → A=7・2=112となり条件を満たす。
    =(11、2) → A=11・2=176となり条件を満たす。   

※なお、(p、q)=(13、2) → A=13・2=208となり条件を満たさない。よって、200以下の自然数のうち、正の約数が10個である数の個数は5個となる。



nは正の整数とする。nと36の最小公倍数が504となるようなnをすべて求めよ。
4stepの解答
最大公約数をaとし、36とnを素因数分解していくと、

a ) 36  n
     b  c   (bとcは互いに素)

ab=36、最小公倍数が504より、abc=504となる。ab=36をabc=504のabに代入すると、
36c=504 
  c=14

ab=36のaとbの組合せは、(a、b)=(1、36)(2、18)などがあるが、bはc=14と互いに素である必要があるので、そのようなaとbの組合せは、(a、b)=(4、9)と(12、3)と(36、1)の3組ある。

よって、a=4、12、36となる。n=acより、
n=4・14=56 または、n=12・14=168 または、n=36・14=504



4stepなどのわからない問題の解説・解答がほしい方、誤字・脱字、間違い等を見つけた方は、お気軽にコメント欄などで、三重の家庭教師にまでご連絡ください。
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