こんにちは、三重の家庭教師です。もう台風は来ないでほしいと思った今日この頃です。さて、この記事では、整数の性質の4stepの解説や解答を紹介していきます。
「整数の性質」は、旧課程ではなかった新課程の内容であり、２０１５年以降のセンター試験や大学入試でどのように出題されるかが注目の分野です。
スポンサーリンク
「整数の性質」は新課程の内容ですが、今まで中学受験や大学入試でよく出題される分野でした。ただ、解き方が独特のため、苦手な人が多い分野だと思います。
また、「公倍数や、公約数、最大公約数、最小公倍数、素因数、互いに素」など、よく似た言葉が出てくるので、その言葉の意味を理解しにくいということも厄介にしている原因といえます。
私が高校生のときは、この分野は学習していなかったので、「今の高校生は多くのことを学ばないといけなくて大変だなあ」と本当に思います。
さて、整数の性質の4stepなどの問題解説に入る前に、「 ２個の数ＡとＢは互いに素（そ）である」と「２個の数ＡとＢの最大公約数と最小公倍数を求める方法」という知識はよく使うので、そのことを確認しておきます。
■２個の数ＡとＢが互いに素
まず、「２個の数ＡとＢが互いに素」の意味の確認です。
【２個の数ＡとＢが互いに素】 ＡとＢは、１以外の公約数がないこと（１以外の、同じ数では割れないこと）言葉では、非常にわかりにくいと思いますので、以下の例で、「２個の数ＡとＢは互いに素」であるという意味を理解してください。
【例】
３と５ → ３と５は、１でしか割れないため、互いに素である。
８と１１ → ８と１１は、１でしか割れないため、互いに素である。
４と８ → ４と８は、１以外の数で割れる(例えば、２で割れる)ため、互いに素でない。
１５と１８ → １５と１８は、１以外の数で割れる(例えば、３で割れる)ため、互いに素でない。
互いに素であるかないかの別の解き方として、素因数分解をして出てきた数字が１つも同じものがなければ、２つの数字は互いに素だと判断できます。
【例】
１４と９
１４＝２×７ → 出てきた数字は、２と７
９＝３×３ → 出てきた数字は、３１４と９は、素因数分解をしたとき、１つも同じものがないので、互いに素です。
【例】
１５と９
１５＝３×５ → 出てきた数字は、３と７
９＝３×３ → 出てきた数字は、３６と１５は、素因数分解をしたとき、どちらも３が出てきます。なので６と１５互いに素ではありません。
■２個の数ＡとＢの最大公約数と最小公倍数を求める方法
まず、「最大公約数と最小公倍数」の意味の確認です。
【最大公約数】 ２つ以上の正の整数に共通な約数（公約数）のうち、一番大きい数のこと。
【例】
１２と１６の公約数（１２と１６、どちらも割れる数のこと）は、１、２、４です。これらの数で一番大きい数は、４なので、４が最大公約数となります。
【最小公倍数】 ２つ以上の正の整数の共通な倍数（公倍数）のうち、一番小さい数のこと。
【例】
２と３の公倍数（２と３に共通な倍数のこと）は、６、１２、１８、２４・・・で、これらの数で一番小さい数は、６なので、６が最小公倍数となります。
それでは、２個の数ＡとＢの最大公約数と最小公倍数を求める方法を紹介します。例えば、２４と３６の最大公約数と最小公倍数を求める方法を例にします。
まず２４と３６を、下のように素因数分解と同じような感じで割っていきます。なお、共通な数で割れなくなる（互いに素）まで割っていきます。
２ ） ２４ ３６
２ ） １２ １８
３ ） ６ ９
２ ３ ←２と３は、共通な数で割れない（互いに素）ので、ここでストップ。
このように、素因数分解することで、最大公約数と最小公倍数がわかります。まず、左の列の２と２と３をかけた２・２・３＝１２が２４と３６の最大公約数になります。
次に最小公倍数の出し方ですが、左の列の２と２と３と、下に残った２と３をかけた、（２・２・３）×（２・３）＝７２が、２４と３６の最小公倍数となります。
※この方法で、最大公約数と最小公倍数が求めることができる理由を以下に紹介します。少し難しい内容なので、知りたい人だけ参考にしてください。
【左の列の２と２と３をかけた１２が２４と３６の最大公約数になる理由】
素因数分解から、２４＝２・２・３・２＝１２・２
３６＝２・２・３・３＝１２・３
ということがわかり、２４、３６のどちらの数も共通な数が１２の積からなり、これは、２４、３６のどちらも１２で割ることができるという意味になるからです。
【左の列の２と２と３と、下に残った２と３をかけた７２が、２４と３６の最小公倍数になる理由】
２４と３６の最小公倍数を〇であらわすと、 〇は２４でも３６でも割り切れるので、
〇＝２４×☐＝１２×２×☐ ・・・①
〇＝３６×△＝１２×３×△ ・・・② と表せます。
①＝②より、１２×２×☐＝１２×３×△となり、計算すると、２×☐＝３×△となります。
この等式が成立するためには、☐＝３、△＝２ならＯＫとなります。よって、〇＝１２×２×☐＝１２×２×３＝７２となります。
結局、最小公倍数を出すには、左の列の２と２と３と、下に残った２と３をかけた数ということになります。
これらのことから、次の重要な公式が成立します。整数の性質では、よく使う公式ですので、ぜひ覚えておきましょう。
公式
Ａ＝ａ×ｂ、Ｂ＝ａ×ｃ のとき、最大公約数はａ、最小公倍数はａ×ｂ×ｃです。
【例】
２４と３６の最大公約数と最小公倍数
２４＝１２×２、 ３６＝１２×３ なので、最大公約数は１２、最小公倍数は１２×２×３＝７２です。それでは、ここからは、「整数の性質」に関係する4stepの問題などの解説や解答をしていきます。ペンネーム「急上昇」さんからいただいた、4stepの質問です。
（１）４５の倍数で正の約数が１５個である自然数ｎをすべて求めよ。
（２）２００以下の自然数のうち、正の約数が１０個である数の個数を求めよ。
【4step（１）の解説】
ある数Ａの約数の個数の出し方は、ある数Ａ＝ｐｘ・ｑｙと素因数分解できたとき、約数の個数＝(ｘ＋１)(ｙ＋１)
となる。
例えば、１４４の約数の個数なら、１４４＝２４・３２と素因数分解できるので、約数＝(４＋１)(２＋１)＝１５
となる。
このことから、約数の個数が１５になるような数は、２４・３２、７４・３２、 ２１４などがある。つまり、約数の数が１５になるような数は、ｐ、ｑは素数とし、ｐ４・ｑ２かｐ１４のように素因数分解できたらＯＫとなる。
【4step（１）の解答】
４５の倍数＝４５ｋ＝３２・５・ｋとおけるので、３と５を素因数にもつ数である。
約数が１５になるのは、３と５の素因数を２つもつことから、３４・５２か３２・５４となるときである。
よって、ｎ＝３４・５２か３２・５４＝２０２５か５６２５
【4step（２）の解答】
正の約数を１０個もつ数をＡとすると、ｐとｑは互いに素の数として、
Ａ＝ｐ９または、Ａ＝ｐ・ｑ４とおける。
①Ａ＝ｐ９で、自然数Ａ≦２００を満たすような素数ｐは存在しない。(例：２９＝５１２で２００より大きくなり不適合)
②Ａ＝ｐ・ｑ４で自然数Ａ≦２００を満たすような素数ｐ、ｑの組は
(ｐ、ｑ)
＝(２、３) → Ａ＝２・３４＝１６２となり条件を満たす。
＝(３、２) → Ａ＝３・２４＝４８となり条件を満たす。
＝(５、２) → Ａ＝５・２４＝８０となり条件を満たす。
＝(７、２) → Ａ＝７・２４＝１１２となり条件を満たす。
＝(１１、２) → Ａ＝１１・２４＝１７６となり条件を満たす。
※なお、(ｐ、ｑ)＝(１３、２) → Ａ＝１３・２４＝２０８となり条件を満たさない。よって、２００以下の自然数のうち、正の約数が１０個である数の個数は５個となる。
ｎは正の整数とする。ｎと３６の最小公倍数が５０４となるようなｎをすべて求めよ。
【4stepの解答】
ａ ） ３６ ｎ
ｂ ｃ （ｂとｃは互いに素）
ａｂ＝３６、最小公倍数が５０４より、ａｂｃ＝５０４となる。ａｂ＝３６をａｂｃ＝５０４のａｂに代入すると、
３６ｃ＝５０４
ｃ＝１４ａｂ＝３６のａとｂの組合せは、（ａ、ｂ）＝（１、３６）（２、１８）などがあるが、ｂはｃ＝１４と互いに素である必要があるので、そのようなａとｂの組合せは、（ａ、ｂ）＝（４、９）と（１２、３）と（３６、１）の３組ある。
よって、ａ＝４、１２、３６となる。ｎ＝ａｃより、
ｎ＝４・１４＝５６ または、ｎ＝１２・１４＝１６８ または、ｎ＝３６・１４＝５０４
とういうことで、今回は、整数の性質の4stepの解説や解答を紹介してきました。私はこの分野を習ったことがないので、苦手ですが皆さんは頑張って習得してください。
4stepなどのわからない問題の解説・解答がほしい方、誤字・脱字、間違い等を見つけた方は、お気軽にコメント欄などで、三重の家庭教師にまでご連絡ください。
スポンサーリンク
コメント