中学校で習う数学のグラフの一覧をまとめておきます。グラフに関する問題は、高校入試はもちろん、高校生になっても非常によく登場します。ここでは、グラフの書き方を簡単に解説していきます。

数学のグラフ

中学校の数学の時間に習うグラフは、下のように全部で「5種類」あります。それぞれのグラフは色々な形になるので、グラフの書き方がわからなかったり、苦手とする子が多いと思います。

しかし、グラフの書き方には、ある「コツ」があり、そのコツさえわかれば、5種類のグラフを全て書けるんですよ。グラフをどのようにして書けばよいのかわからない子は、ぜひこのグラフを書くときのコツをマスターしてください。

まず、最初に注意です!グラフを書くには、座標がわかっていないとダメです。「座標って何?」という方は、座標の求め方!数学のグラフを書くときに、絶対に覚えておきたい!を最初にご覧ください。

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それでは、座標がバッチリの方は、調べたいグラフをクリックしてください。(iPhoneやスマートフォンの方は、クリックしてもジャンプしないことがありますので、お手数ですが、スライドさせて見てください。)


グラフを書くときのコツ

y=ax (中学1年生向け)

y=ax+b (中学2年生向け)

y=a、x=a (中学2年生向け)

y=ax (中学3年生向け)

近日公開 y=a/x (中学2年生向け)



〇 グラフを書くときのコツ

グラフを書くには、「あるコツ」をマスターすれば良いと先ほど言いました。ここでは、そのコツを解説していきます。ここで突然ですが、あなたに質問です!

y=x+3のとき、下のxy表のyの空欄に入る数字があなたにはわかりますか?

数学 グラフ

例えば、x=0の下のyの空欄を求めてみましょう。x=0をy=x+3に代入すれば良いので、y=0+3で、y=となりますね。

x=-2、-1、1、2のときも同じように計算して、yを出していくと、上の画像のようになります。どうでしょうか?簡単にyの空欄の数字がわかりましたか?

「こんな問題なら簡単だ!」と思った方、・・・実は、この問題のように、yの空欄に数字を入れる計算さえできたら、ほとんどグラフは書けたようなものなんですよ!

つまり、グラフを書くコツは、上のようなxy表を作って、yの空欄を埋めることなんです。それでは、実際にグラフを書く練習を以下にしていきます。

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【グラフ①】 y=axの書き方

y=axのタイプのグラフは、中学1年生のときに習うことが多いです。aのところには、色々な数字が入ります。例えば、a=1ならy=x、a=-2なら、y=-2xのグラフということになります。


例1  y=xのグラフを書いてみよう。

グラフの書き方

y=xのグラフを一番最初に書いてみましょう。上で解説したグラフのコツのように、まずxy表を作ってください。

例えば、x=0のときのyの空欄を出すには、y=xのxにx=0を代入すればよいので、y=0ということがわかります。これで、上の画像のように、x=0のとき、y=0ということがわかりました。

そして、x=0のとき、y=0なので、(0、0)に点を打ってください。これは何を意味するかというと、y=xのグラフは、原点である(0、0)を通る(赤い点のところ)ということがわかるんです。

x=0のときは、調べたので、今度は、x=2のときのyの値を調べてみましょう。これも、y=xのxにx=2を代入すればよいだけなので、y=2ということがわかります。

これで、x=2のとき、y=2ということがわかったので、(2、2)に点(青い点のところ)を打ってください。 これで、「y=xのグラフは、(2、2)を通るんだ」ということもわかりました。

ここまでできたら、ほぼ完成です!最後に、先ほど点を打った(0、0)(2、2)を通るような線を定規で引けば終わりです。 右上がりの直線ができましたね。

なお、x=-2、-1、1のときのyの空欄は出していませんが、ぶっちゃけ出さなくても良いです。y=axのタイプのグラフは必ず直線になるので、(0、0)と(2、2)のように、2点の座標がわかればその2点を結ぶだけで完成します。


例2  y=-2xのグラフを書いてみよう。

グラフ 書き方

次にy=-2xのグラフを書いてみましょう。やり方は、y=xのときと全く同じで、まずxy表を作ってください。

例えば、x=0のときのyの空欄を出すには、y=-2xのxにx=0を代入すればよいので、y=-2×0で、y=0ということがわかります。

ということで、y=-2xのグラフも、原点である(0、0)を通るということがわかります。

x=0のときのyの値は調べたので、他のyの空欄を埋めましょう。y=xのときは、x=2を調べましたが、別にx=2にしなくてもOKです。x=1やx=-2を調べてもらってもOKです。

要するに自分が計算しやすいと思うxを代入すればよろしいです。今回は、x=-2のときのyの値を調べてみましょう。

これも、y=-2xのxにx=-2を代入すればよいだけなので、y=-2×(-2)=4ということがわかります。これで、x=-2のとき、y=4ということがわかったので、(-2、4)に点(青い点のところ)を打ってください。

最後に、先ほど点を打った(0、0)(-2、4)を通るような線を定規で引けば終わりです。例1と違って、今度は右下がりの直線ができましたね。



例3  y=-1/3xのグラフを書いてみよう。

中学 グラフ

最後にy=-1/3x(3分の1×エックス)のグラフを書いてみましょう。しつこいですが、xy表を作ってください。xy表を作って、yの空欄を埋めればグラフは絶対に書けます!

x=0のときのyの空欄を出すには、y=-1/3xのxにx=0を代入すればよいので、y=-1/3×0で、y=0ということがわかります。気づいた方もいるかもしれませんが、y=axのタイプのグラフは必ず原点(0、0)を通ります

ということで、y=-1/3xのグラフも、原点である(0、0)を通るということがわかります。

x=0のときのyの値は調べたので、他のyの空欄を埋めましょう。例2で、自分が計算しやすいと思うxを代入すればよろしいといいました。

ここで、何も考えずに、x=1やx=2を代入すると、yは分数となり、点が打ちにくくなります。そこで、今回は、x=3を代入すると約分されて計算しやすいので、x=3のときのyの値を調べてみましょう。

y=-1/3xのxにx=3を代入すればよいので、y=-1/3×3=-1ということがわかります。これで、x=3のとき、y=-1ということがわかったので、(3、-1)に点(青い点のところ)を打ってください。

ということで、(0、0)(3、-1)を通るような線を定規で引けば終わりです。「2点を打って、線を引けば終わり」という流れに慣れてきましたか?

これで、y=axのタイプのグラフはほとんど書けると思います。最後に、y=axのグラフで、覚えておきたい特徴を3つ紹介しておきます。

【y=axのグラフで覚えておきたい特徴】

①原点Oを必ず通り、もう1個の点を結べば書くことができる直線。

②y=xのように、aが正の値なら、右上がりの直線になる(例1)。

③y=-2xやy=-1/3xのように、aが負の値なら、右下がりの直線になる(例2、例3)。



【グラフ②】 y=ax+bの書き方

y=ax+bのタイプのグラフは、中学2年生の「一次関数」という分野で習います。aやbのところには、色々な数字が入ります。例えば、a=1、b=3ならy=x+3、a=-2、b=-5なら、y=-2x-5のグラフということになります。

このグラフも、上で解説したグラフを書くときのコツ
を使えば簡単に書けてしまいます。ほとんど、y=axのときと同じやり方ということがわかると思います。


例1  y=x+3のグラフを書いてみよう。

数学 グラフ

y=x+3のグラフを書いてみましょう。上では、y=axのグラフの書き方を説明しましたが、y=ax+bのグラフを書くときも全くやり方は同じです。まずxy表を作ってください。

例えば、x=0のときのyの空欄を出すには、y=x+3のxにx=0を代入すればよいので、y=0+3ということがわかります。これで、上の画像のように、x=0のとき、y=3ということがわかりました。

そして、x=0のとき、y=3なので、(0、3)に点を打ってください。これで、y=x+3のグラフは、点(0、3)を通る(赤い点のところ)ということがわかりました。

x=0のときは、調べたので、今度は、x=-2のときのyの値を調べてみましょう。これも、y=x+3のxにx=-2を代入すればよいだけなので、y=-2+3=1ということがわかります。

ということで、(-2、1)に点(青い点のところ)を打ってください。 これで、「y=x+3のグラフは、(-2、1)を通るんだ」ということもわかりました。

最後に、先ほど点を打った(0、3)(-2、1)を通るような線を定規で引けば終わりです。全くy=axの書き方と同じですね。y=ax+bもy=axと同じで直線になるので、2点さえわかれば書けてしまいます。


例2  y=-2x+1のグラフを書いてみよう。

グラフ 数学

次にy=-2x+1のグラフを書いてみます。xy表を作って、x=0のときのyの値をいつも通り出します。y=-2x+1のxにx=0を代入すればよいので、y=-2×0+1で、y=1ということがわかります。

ということで、(0、1)に点を打ちます(赤い点のところ)。x=0のときのyの値は調べたので、他のyの空欄を埋めましょう。x=-2、-1、1、2のどれを調べてもOKですが、今回は、x=2のときのyの値を調べてみましょう。

これも、y=-2x+1のxにx=2を代入すればよいだけなので、y=-2×2+1=-3ですね。これで、x=2のとき、y=-3ということがわかったので、(-2、-3)に点(青い点のところ)を打ちます。

最後は、(0、1)(2、-3)を結んで終わりです。同じことの繰り返しなので、説明するのも飽きてきました。


例3  y=2/3x-4のグラフを書いてみよう。

グラフ 数学 中学

y=2/3x-4(aは3分の2)のグラフを書いてみましょう。いつも通りxy表のx=0を調べましょう。x=0のときは、y=2/3×0-4で、y=-4ですね。ということで、y=2/3x-4のグラフは、(0、-4)を通ります。

x=0のときのyの値は調べたので、他のyの空欄を埋めましょう。ここでは、aの値が分数なので、自分が計算しやすいと思うxを代入しましょう。

ここでは、x=1やx=2を代入するより、x=3を代入すると約分されて計算しやすいので、x=3をy=2/3x-4のxに代入しましょう。

代入すると、y=2/3×3-4=2-4=-2になります。よって、(3、-2)に点(青い点のところ)を打って、赤い点と結んで終わりです。

y=ax+bのaが分数のときは、約分しやすいxを代入すると、計算しやすくなることを覚えておきましょう。


例4  3x+2y=6のグラフを書いてみよう。

y=ax+b

y=ax+bのグラフの書き方の解説が終わると、3x+2y=6のような、y=ax+bのタイプではないグラフが登場してきます。

しかし、恐れることはありません。xy表を作って計算する力さえあれば、問題ありません。xy表を書けたら、あなたは絶対にグラフを書けるんです!

では、3x+2y=6のグラフを書いてみましょう。いつも通りxy表のx=0を調べましょう。

x=0のときは、3×0+2y=6 ⇒ 2y=6 ⇒ y=3 ということがわかります。よって、このグラフは、(0、3)を通ります。

x=0のときのyの値は調べたので、他のyの空欄を埋めましょう。これまで何回も言っていますが、xには何を入れてもいいです。自分が計算しやすいと思うxを代入しましょう。

私は、「x=2を代入すると計算しやすそうだ!」と思ったので、x=2を代入してみました。

3×2+2y=6 ⇒  6+2y=6 ⇒ 2y=0 ⇒ y=0

よって、(2、0)に点(青い点のところ)を打って、赤い点と結んで終わりです。


これで、y=ax+bのタイプのグラフの解説を終わります。ほとんどy=axの書き方と同じですね。最後に、y=ax+bのグラフで、覚えておきたい特徴を4つ紹介しておきます。

【y=ax+bのグラフで覚えておきたい特徴】

①y=axと同じで、2点の座標を結べば書くことができる直線。

②y=ax+bのaの値を「傾き(変化の割合)」、bの値を「切片」という。例えば、y=x+3なら、a=1、b=3なので、傾き(変化の割合)は1、切片は3となる。

③y=x+3やy=2/3x-4のように、aが正の値なら、右上がりの直線になる(例1、例3)。

④y=-2x+1のように、aが負の値なら、右下がりの直線になる(例2)。



【グラフ③】 y=a、x=aの書き方

y=aやx=aのタイプのグラフは、y=ax+bのグラフを習った後に学習することが多いです。今までのグラフは、xに代入して計算する必要がありましたが、今回のグラフは計算する必要がありません。

なので、グラフを書くこと自体は、簡単なのですが、意味を理解していないと間違えやすいので、しっかりと意味を理解してください。それでは、例を使って解説していきます。


例1  y=3のグラフを書いてみよう。

y=3のグラフ

y=3のグラフを書いてみましょう。まずお馴染みのxy表を作ってください。

いつも通り、x=0のときのyの空欄を出していきましょう。しかし、y=3のxにx=0を代入したいのですが、xがないので、y=3のままでOKです。つまり、先ほど言ったように、計算する必要がなく、x=0のとき、y=3です。

なので、(0、3)に点(赤い点のところ)を打ってください。x=0のときは、調べたので、今度は、x=2のときのyの値を調べてみましょう。

これも、y=3のxにx=2を代入したいのですが、xがないので、これも計算する必要がなく、y=3ということがわかります。

要するに、y=3のグラフは、y座標が全部3になる点の集合ということがわかります。このことから、(-2、3)(-1、3)、(1、3)、(2、3)に点(青い点のところ)を打てることがわかります。

後は、点同士を定規で引けば終わりです。これで、y=3は、(0、3)を通るx軸に平行(y軸に垂直)な横線ということがわかりました。

もう一度言いますが、y=3のグラフは「y座標が全て3」という理解が非常に大切です。これを理解していれば、x=3とy=3とy=3xを間違えたりしないと思います。



例2  2y+8=0のグラフを書いてみよう。

y=aのグラフの書き方

次に、2y+8=0のグラフを書いてみましょう。このグラフは、y=aの形ではないので、y=aの形にする作業が必要になります。

2y+8=0 

 ↓ +8を右辺に移項 

2y=-8  

 ↓ 両辺を÷2

y=-4

ということで、2y+8=0というグラフは、y=-4というグラフになることがわかりました。後は、上の例1と同じで、y=-4ということは、y座標が全部-4になる点の集合ということがわかります。

このことから、(-2、-4)(-1、-4)、(0、-4)、(1、-4)、(2、-4)などに点を打って、定規で引けば、2y+8=0のグラフの完成です。

上の画像では、xy表を書いてありますが、意味さえわかっていれば、y=aやx=aのグラフは、xy表を書かなくても書くことが可能です。


例3  x=-2のグラフを書いてみよう。

x=aのグラフの書き方

次に、x=aのタイプのグラフの書き方を解説していきます。例2の最後にも言いましたように、y=aやx=aのグラフは、意味さえ理解していれば、xy表を書く必要がありません。

では、x=-2はどのように書けばいいのでしょうか?例えば、y=-2なら、上の例1でやったように、y座標が全てー2の点の集合でしたね。

気づいた方もいるかもしれませんが、実は、x=-2なら、x座標が全てー2の点の集合ということになります。ということで、上の画像の赤い点のように、(-2、0)、(-2、1)、(-2、2)など、とにかくx座標がー2の点を打ち込んでいけばいいだけなんです。

後は、定規で結んで終了です。これで、x=-2というグラフは、(-2、0)を通るy軸に平行(x軸に垂直)な縦線ということがわかります。


例4  x=2とy=2とy=2xのグラフを書いてみよう。

グラフ 苦手

最初の方で、y=aとx=aのグラフは意味を理解していないと間違えやすいと言いました。ここでは、x=2、y=2、y=2xのグラフを例に解説していきます。

私の経験上、y=2のグラフをx=2やy=2xのグラフと混同している子は多いと思います。つまり、「y=2のグラフを書いて」と言っているのに、「x=2」のグラフや「y=2x」のグラフを書いてしまうという間違いです。

私も、昔はy=2のグラフを書くときに、「y=2は縦線だっけ?それとも横線だっけ?」と迷うことがたびたびありました。皆さんは、私のように迷わないように、y=aとx=aの違いをここで理解していってくださいね。

まず、x=2のグラフは例3で説明したように、x座標が全て2の点の集合なので、x座標が2の点を集めます。そうすれば、x=2のグラフは、上の画像のように、縦線になるということがわかります。

また、y=2のグラフは例1で説明したように、y座標が全て2の点の集合なので、y座標が2の点を集めればOKとなります。それが理解できていれば、y=2のグラフは、横線ということがわかります。

y=2をy=2xと間違える子もいるので、これも注意しておきましょう。y=2xのグラフは、y=axで解説したように、xy表を作って書いていけば、右上がりの斜め線になります。


これで、y=aとx=aのタイプのグラフの解説を終わります。繰り返しますが、縦線か?横線か?の判断が間違えやすいのでご注意ください。最後に、y=aとx=aのグラフで、覚えておきたい特徴を2つ紹介しておきます。

【y=aとx=aのグラフで覚えておきたい特徴】

①y=aは、x軸に平行で、y軸に垂直に交わる横線。(例1、例2)

②x=aは、y軸に平行で、x軸に垂直に交わる縦線。(例3)

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