中学の1年生では、「y=ax、y=a/x」のグラフ、2年生では「y=ax+b、y=a、x=a」のグラフの書き方を習いました。そして、中学3年生の数学で、最後のグラフであるy=axが登場します。

y=axのグラフは、「二次関数」という分野で習います。中学1年生では、y=axのグラフを習いますが、中学
3年生では、xに二乗がついたグラフを習うんです。

y=axのグラフは、y=axのグラフとは、当然違う形のグラフになりますが、やることはほとんど同じです。数学のグラフ一覧!中学で習うグラフをまとめました!!で解説したxy表を作って、計算する力があれば書けます。

「y=axの二次関数グラフ」は入試で非常によく出題されますので、頑張って二次関数のグラフの書き方を理解してくださいね!それでは、例題問題を使って、解説していきます。

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【グラフ④】 y=axの書き方

例1  y=xのグラフを書いてみよう。



二次関数のグラフ

二次関数のグラフは、最初にy=xが紹介されますので、まずy=xのグラフの書き方を解説していきます。まず、 上の画像のようにx=-3から3までのxy表を作ってください。

x=のときのyの値を出すには、y=xのxにx=を代入すればよいので、y=0=0×0で、y=ということがわかります。

ということで、(0、0)に点を打ちます(赤い点のところ)。x=0のときのyの値は調べたので、他のyの空欄を埋めましょう。x=1、2、3のときのyをそれぞれ調べていきます。

x=のとき、y=1=1×1で、y=なので、(1、1)を打つ(青い点のところ)

x=のとき、y=2=2×2で、y=なので、(2、4)を打つ(緑の点のところ)

x=3のとき、y=3=3×3で、y=9なので、(3、9)を打つ(黒い点のところ)。

これで、x=1、2、3のyの値がわかりました。次に、x=-1、-2、-3のyの値を出していきましょう。ここで、上のように計算しても良いのですが、実は計算する必要はありません。

なぜなら、計算してもらえばわかると思いますが、x=1とx=-1のyの値は同じで、x=2とx=-2のyの値も同じで、x=3とx=-3のyの値も9と同じになるからです。

これは、y軸を対称に点を打てばよいということを意味しています。つまり、(2、4)に点を打てば、y軸と対称になる(-3、9)にも点が打てるということになります。

この特徴はy=axのグラフすべての特徴なので、覚えておきましょう。この知識があると、y=axのグラフを書くのにかかる時間が短縮できます。

ということで、これで7つの点が集まったので、7つの点を通るグラフを書くと、上の右画像のようになります。グラフを見てもらったらわかると思いますが、y=xのグラフは曲線になります。

y=xだけでなく、y=axはすべて曲線になり、直線にはなりませんので、注意してください。なので、xy表をしっかり作って、x=-3~3までの値のyを全部調べていくことが大切になります。

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例2  y=-xのグラフを書いてみよう。

二次関数 グラフ

次に、y=-xのグラフの書き方です。例1と同じでx=-3から3までのxy表を作ってください。x=のときは。y=-xのxにx=を代入すればよいので、y=-0=-0×0で、y=ということがわかります。

よって、(0、0)に点を打ちます(赤い点のところ)。ちなみに、y=axはすべて(0、0)である原点を通ります。次にx=1、2、3のときのyをそれぞれ調べていきます。

x=のとき、y=-1=-1×1で、y=-1なので、(1、-1)を打つ(青い点のところ)

x=のとき、y=2=2×2で、y=-4なので、(2、-4)を打つ(緑の点のところ)

x=3のとき、y=3=3×3で、y=9なので、(3、-9)を打つ(黒い点のところ)。

これで、x=1、2、3のyの値がわかりました。x=-1、-2、-3は、y=axのグラフの特徴から、y軸を対称に点を打てばよいので、(-1、-1)(-2、-4)、(-3、-9)にも点を打ちましょう。

後は、7つの点を通るような曲線を書けば、y=-xの完成です。y=xとx軸に関して対称なグラフができましたね。


例3  y=1/2xのグラフを書いてみよう。

二次関数のグラフ、数学

今度はaが分数のときの二次関数のグラフを解説します。例えば、a=1/2(2分の1)のときであるy=1/2xを書いてみましょう。今回は、より詳しく書くために、x=-4から4までのxy表を作ってみます。

x=のとき、y=1/2×0で、y=なので、(0、0)に打つ(赤い点のところ)

x=のとき、y=1/2×1で、y=1/2=0.5なので、(1、0.5)を打つ(青い点のところ)

x=のとき、y=1/2×2で、y=なので、(2、2)を打つ(緑の点のところ)

x=3のとき、y=1/2×3で、y=9/2=4.5なので、(3、4.5)を打つ(黒い点のところ)。

x=のとき、y=1/2×4で、y=なので、(4、8)を打つ(紫の点のところ)

これで、x=1、2、3、4のyの値がわかったので、後は、y軸を対称になるように点を打てばよいだけです。例1と例2で多分わかってもらったと思いますが、以下に対応する座標を一応書いておきます。

(1、0.5) ⇒ (-1、0.5) 

(2、2) ⇒ (-2、2)

(3、4.5) ⇒ (-3、4.5)

(4、8) ⇒ (-4、8)

これで9個の点が打てたので、後はこれらの点を通るような曲線を書けば完成です。y=1/2xのようなaが分数になるグラフはyの値も分数になることがあるので、少しグラフを書くのが難しいですね。


例4  y=-1/4xのグラフを書いてみよう。

二次関数 数学 グラフ

ここまで、例1~3の3つのグラフを紹介してきましたが、xy表の作り方や、y軸と対称に点を打つことに慣れていただけましたか?最後に、y=-1/4xのグラフを書いて、二次関数のグラフの書き方の解説を終わります。

今回は、x=-6~6までのxy表を作ってみます。ただ、x=-1~ー6のyの値に関しては、ご存知のように、y軸との対称性からx=1~6と同じ値になるので、もう省略させていただきます。

x=のとき、y=-1/4×0で、y=なので、(0、0)に打つ(赤い点のところ)

x=のとき、y=-1/4×1で、y=-1/4=-0.25なので、(1、-0.25)を打つ(青い点のところ)

x=のとき、y=-1/4×2で、y=-1なので、(2、-1)を打つ(緑の点のところ)

x=3のとき、y=-1/4×3で、y=-9/4=-2.25なので、(3、-2.25)を打つ(黒い点のところ)。

x=のとき、y=-1/4×4で、y=-4なので、(4、-4)を打つ(紫の点のところ)

x=のとき、y=-1/4×5で、y=-25/4=-6.25なので、(3、-6.25)を打つ(オレンジの点のところ)

x=のとき、y=-1/4×6で、y=-9なので、(6、-9)を打つ(水色の点のところ)

これで、x=1、2、3、4、5、6のyの値がわかりました。後は、y軸を対称になるように点を打ち、各点を通るような曲線を書けば完成です。


以上で、y=axのタイプのグラフの解説を終わります。二次関数のグラフは、県立入試や私立入試、また高校生の数学でもよく登場するので、しっかり書けるようにしておいてください。

最後に、y=axのグラフで、覚えておきたい特徴を5つ紹介しておきます。

【y=axのグラフで覚えておきたい特徴】

①y軸に対称になるように点が集まる。(例1~例4)

②a=1やa=1/2のように、aが正の値のときは、上に開いたグラフになる。(例1、例3)

③a=-1やa=-1/4のように、aが負の値のときは、下に開いたグラフになる。(例2、例4)

④a=1とa=-1のように、aの値が互いに異符号のときは、x軸に関して対称なグラフになる。(例1、例2)

⑤a=-1/4=-0.25のように、aの値が0に近いほど、グラフの幅は大きくなる。(例4)

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