数と式の最後の分野は、「集合」です。ということで、今回は、「集合の記号」に関する定義や定理、覚え方などを簡単な問題を使って紹介していきます。

数学で学習する「集合」の特徴は、とにかく記号が多いことです。例えば、∈、⊂、∩、∪、⊃など、顔文字に使えそうな記号がたくさん出てきます⊂二( ^∪^)二⊃

私はこの集合の記号を覚えるのにとても苦労しました・・・。特に、∩や∪の集合記号は、向きが違うだけで意味が全然違いますので、皆さんも間違わないようにしっかり覚えていただけたらと思います!

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【目次】

集合と要素の記号

部分集合A⊃Bと空集合Φの記号

全体の集合U、共通部分A∩Bと和集合A∪Bの記号

補集合、ド・モルガンの法則①

補集合、ド・モルガンの法則②




【集合と要素の記号】

集合の記号

【この問題の補足解説】


集合の要素は、{ }のように、中カッコの記号を使って表します。



{x|xの条件}のように、|の横にxの条件を書いて表す方法があります。①と③は問題の表現方法は違いますが、一緒のことを意味しています。



6の約数とは、6を割ることができる数のことです。6を割れる数は、1、2、3、6があるので、6の約数は、1、2、3、6となります。

なお、-1、-2、-3、-6も6の約数ですが、この問題では、正の数のみで考えていますので、負の約数は考えなくてもOKです。


⑦⑧
1~10までの数字の集合Aの中には、当然ですが、2や3は含まれますね。このような集合Aの中に含まれる数字aを数学では、a∈Aと書きます。なので、2や3が含まることを2∈Aや3∈Aと表したりします。



素数は、「1とその数自身以外に正の約数がなくて、1より大きな自然数」なので、1は素数になりません。間違えやすいので注意しましょう!素数は2、3、5、7などになります。

以上で、「整式の計算、展開公式、因数分解」の説明を終わります。引き続き、高校数学の定理や公式を学びたい人は、次に実数、整数、自然数、有理数、無理数の意味や違いが覚えにくい!をどうぞ!

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【部分集合と空集合の記号】

集合 記号

【この問題の補足解説】


図2のように、集合Aが集合Bをすっぽり包み込む場合、「BはAの部分集合」と言って、集合記号で、「B⊂A」と表します。私がオススメするこの記号の覚え方は、「不等号」で覚える方法です。

例えば、AとBの集合の大きさを比較した場合、Aの集合の方が大きいですよね。つまり、不等号で表すとB<Aです。だから、BがAの部分集合なら、この不等号と同じで、B⊂Aと考えれば覚えやすいのではないでしょうか?



AとBの集合がこの問題のように全く同じときは、A=Bと表します。これは感覚的に覚えやすいですね。


⑤⑥
集合の要素を1つももたないとき、「空集合」といい、記号で「Φ」と表します。空集合の問題例は、下の問題3)の④を見てください。



【全体の集合、共通部分と和集合の記号】

集合記号の覚え方

【この問題の補足解説】


図1のように、AとBの集合が重なっている部分を「共通部分」と言って、記号で「A∩B」と書きます。A∩Bは「AかつB」と読むことが多いです。⑤の和集合の記号∪と似ていて間違えやすいので、注意してください。



A∩Bは、AとBの共通部分なので、AにもBにもある要素を選べばいいということになります。AにもBにもある要素は、2だけですね。なので、A∩B={2}となります。



③では、AとBには共通な要素の2がありましたが、この問題はAとBの共通な要素がありませんね。このように、要素がない場合を空集合というので、A∩B=Φとなります。



図2のように、AとBの集合を合わせた部分を「和集合」と言って、記号で「A∪B」と書きます。A∪Bは「AまたはB」と読むことが多いです。②でも言いましたが、A∩BとA∪Bの記号は非常に間違えやすいので、どちらかを確実に覚えておきましょう。



A∪Bは、AとBの和集合なので、AとBの要素をすべて合わせたものを書けばOKです。A={1、2、3}、B={2、4}なので、AとBの要素を合わせると{1、2、3、4}となります。



【補集合、ド・モルガンの法則①】

集合と記号

【この問題の補足解説】

①②
図1のAでない斜線部分の集合をAの補集合といいます。記号はAの上に-線を引いて表します。②でAの集合は{1、2}なので、Aの補集合は1と2以外の{3、4、5}となります。


⑥⑦
集合の問題では、よくド・モルガンの法則を使います。ド・モルガンの法則に関する使い方や問題は、下の補集合、ド・モルガンの法則②を参考にしてください。



【補集合、ド・モルガンの法則②】

集合 問題

【この問題の補足解説】

①②
全体集合Uが1≦x≦10の整数なので、Aの補集合は、1~10の整数の中でAの要素以外を集めたらよいだけですね。Bの補集合も同じように、1~10の整数の中でBの要素以外を集めたらOKです。



共通部分の問題なので、Aの補集合とBの集合の共通の要素を集めたらOKです。Aの補集合にあり、Bの集合にもある共通の要素は、8と10だけですね。



③と同じで、Aの補集合とBの補集合にある共通の要素を探せばよいだけです。


⑤⑦
ド・モルガンの法則より、⑤の問題は④の問題と同じ意味になります。また、⑦の問題も⑥と同じ問題になります。



以上で、「集合の記号と覚え方」の説明を終わります。引き続き、高校数学の定理や公式を学びたい人は、次に必要条件、十分条件の問題!意味やコツは、この図の覚え方でOK!をどうぞ!

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