図形の公式の一覧をまとめておきます。図形の面積や体積を求めることは、算数や数学では非常によくあります。

図形公式

図形の公式は、下のようにたくさんありますので、覚えるのが大変だと思います。私も苦労して暗記したことを、今でもよーく覚えています。

なので、「なかなか覚えられないよー」という方は、まず下の記事を先に読んでいただけると、図形の公式が覚えやすくなると思います。


↓ 暗記が苦手な方や効率良く暗記したい方 ↓
暗記方法!暗記が苦手な人でも簡単に覚えられるコツ!

↓ 語呂合わせなどが好きな方 ↓
数学公式の最強裏技一覧!中学生や高校生の方はぜひ見て!


それでは、調べたい図形の公式をクリックしてください。(携帯の方は、クリックしてもジャンプしないことがありますので、お手数ですが、スライドさせて見てください。)



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【図形の公式①】長方形の面積

図形の公式、長方形の面積

★長方形の面積の公式
面積 = たての長さ × 横の長さ


長方形という図形は、「4つの角がすべて等しい四角形」のことです。 それでは、長方形の面積の求め方を下の例で解説します。


【問題】下図の長方形の面積を求めよう。

長方形の面積


たての長さ=3、横の長さ=5なので、長方形の面積の公式に当てはめると、


面積 = たて × 横

   = 3 × 5

   = 15

(答え)15(cm


長方形の覚えておきたい特徴

①4つの内角はすべて90°(直角)。

②向かい合う辺は、平行。

③2本の対角線は、長さが等しい。



【図形の公式➁】正方形の面積

図形の公式、正方形の面積

★正方形の面積の公式①
面積 = たての長さ × 横の長さ


正方形という図形は、「4つの辺の長さがすべて等しく、4つの角がすべて等しい四角形」です。なお、正方形は「正四角形」と言われることもあります。

正方形の面積の公式は、長方形とまったく同じです。それでは、正方形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の正方形の面積を求めよう。

正方形の面積


たての長さ=3なので、正方形の特徴から、横の長さも3となります。正方形の面積の公式に当てはめると、


面積 = たて × 横

   = 3 × 3

   = 9

(答え)9(cm


なお、正方形の面積を求める公式は、もう一つあります。

正方形の対角線

★正方形の面積の公式➁
面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2


正方形は、「たて」か「横」の長さがわかれば面積を求めることができますが、対角線の長さからも、面積を出すことができます。

それでは、対角線の長さから、正方形の面積の求める方法を解説していきます。


【問題】下図の正方形の面積を求めよう。

正方形 対角線 面積


対角線の長さ=10なので、正方形の面積の公式に当てはめると、


面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2

   = 10 × 10 ÷ 2

   = 50

(答え)50


正方形の覚えておきたい特徴

①4つの内角はすべて90°(直角)。

②4つの辺はすべて同じ長さ。

③向かい合う辺は、平行。

④2本の対角線は、垂直に交わり、長さも等しい。



【図形の公式③】平行四辺形の面積

平行四辺形の面積

★平行四辺形の面積の公式
面積 = 底辺 × 高さ


平行四辺形という図形は、「2組の向かい合う辺(対辺)がそれぞれ平行な四角形」です。 それでは、平行四辺形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の平行四辺形の面積を求めよう。

図形の公式 平行四辺形


底辺=5、高さ=3なので、平行四辺形の面積の公式に当てはめると、


面積 = 底辺 × 高さ

   = 5 × 3

   = 15

(答え)15(cm


平行四辺形の覚えておきたい特徴

①2組の向かい合う辺(対辺)はそれぞれ等しい。

②2組の向かい合う角(対角)はそれぞれ等しい。

③隣り合う角度を足すと180°になる。

④対角線はそれぞれの中点で交わる。



【図形の公式④】ひし形の面積

ひし形 面積

★ひし形の面積の公式①
面積 = 底辺 × 高さ


ひし形という図形は、「4つの辺がすべて等しい四角形」です。ひし形は平行四辺形ともいえるので、ひし形の面積の公式は平行四辺形と同じになります。

それでは、ひし形の面積の求め方を以下の例で解説します。


【問題】下図のひし形の面積を求めよう。

図形の公式 ひし形


底辺=8、高さ=6なので、ひし形の面積の公式に当てはめると、


面積 = 底辺 × 高さ

   = 8 × 6

   = 48

(答え)48


なお、ひし形の面積を求める公式は、もう一つあります。

ひし形 対角線

★ひし形の面積の公式➁
面積 = 対角線 × もう1つの対角線 ÷ 2


ひし形は、正方形の面積の公式と同じで、対角線の長さがわかっていたら、面積を求めることができます。

それでは、対角線の長さがわかっているひし形の面積の求め方を以下で解説します。


【問題】下図のひし形の面積を求めよう。

ひし形 対角線 面積


対角線の長さ=8、もう1つの対角線の長さ=4なので、ひし形の面積の公式より、


面積 = 対角線 × もう1つの対角線 ÷ 2

   = 8 × 4 ÷ 2

   = 16

(答え)16


ひし形の覚えておきたい特徴

①4つの辺の長さはすべて等しい。

②ひし形は、平行四辺形ともいえるので、平行四辺形の特徴をもつ。

③対角線は垂直に交わる。

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【図形の公式⑤】三角形の面積

三角形 面積 公式

★三角形の面積の公式
面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2


三角形という図形は、「同一直線上にない3点と、それらの点を結ぶ3つの線分からなる多角形」です。 また、三角形は上図のように、


1つの角度に90°を含む直角三角形(図①)

すべての角が90°より小さい鋭角(えいかく)三角形(図②)

1つの角度が90°より大きい鈍角(どんかく)三角形(図③)


の3種類あります。それでは、三角形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の三角形の面積を求めよう。

三角形 面積


底辺=6、高さ=4なので、三角形の面積の公式に当てはめると、


面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

   = 6 × 4 ÷ 2

   = 12

(答え)12(cm


次に鈍角三角形の面積を求める問題をやってみましょう。


【問題】下図の三角形の面積を求めよう。

三角形の面積の求め方


鈍角三角形の面積を求める問題は間違えやすいので、注意が必要です。私は小学生の時に、この三角形の高さは10だとよく間違えていました。

この三角形の高さは8です。10ではないので注意してください。ということで、底辺=7、高さ=8より、三角形の面積の公式に当てはめると、


面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

   = 7 × 8 ÷ 2

   = 28

(答え)28


三角形の覚えておきたい特徴

①鋭角、直角、鈍角三角形の3種類に分類できる。

②三角形の角度(内角)を全部足すと180°。

③二等辺三角形は、二辺が等しく、底角の2つの角度が等しい。

④正三角形は、三辺が等しく、すべての角度が60°。



【図形の公式⑥】台形の面積

台形 面積

★台形の面積の公式
面積 =( 上底 + 下底 )× 高さ ÷ 2


台形は、「四角形の一部で、少なくとも一組の向かい合う辺(対辺)が互いに平行になるような図形」です。 それでは、台形の面積の求め方を解説していきます。


【問題】下図の台形の面積を求めよう。

台形の面積の求め方


図より上底=2、下底=5、高さ=3なので、台形の面積の公式に当てはめると、


面積 =(上底+下底)× 高さ ÷ 2

   =(2 + 5)× 3 ÷ 2

   = 7 × 3 ÷ 2

   = 10.5

(答え)10.5


台形の覚えておきたい特徴


①上底と下底は平行。

②下図のようにAB=CDになる台形を「等脚台形」という。

等脚台形



【図形の公式⑦】円の円周と面積

円周の公式

★円の円周と面積の公式
円周 = 直径 × 円周率

   = 2 × 半径 × 円周率

面積 = 半径 × 半径 × 円周率


円は「平面上のある点からの距離が等しい点の集合でできる曲線の図形」です。

円周の公式は「直径×円周率」か「2×半径×円周率」の2通りありますが、覚えやすい方を覚えておけばOKです。

また、円周率は小学生の子なら「3.14」、中学生以上の方なら「π(ぱい)」になることをしっかり覚えておきましょう!

それでは、円の円周と面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の円の円周と面積を求めよう。

円の面積の求め方


この問題は、小学生の方と中学生以上の方とでは、答え方が違うので、①小学生向け解答と②中学生以上向けの解答の2通りで解説します。


①小学生向けの解答

半径=3、円周率=3.14なので、円の円周と面積の公式に当てはめると、


円周 = 2 × 半径 × 円周率

   = 2 × 3 × 3.14

   = 18.84

(答え)18.84(cm)


面積 = 半径 × 半径 × 円周率

   = 3 × 3 × 3.14

   = 28.26

(答え)28.26(cm


②中学生以上向けの解答

半径=3、円周率=πなので、円の円周と面積の公式に当てはめると、


円周 = 2 × 半径 × 円周率

   = 2 × 3 × π

   = 6π

(答え)6π(cm)


面積 = 半径 × 半径 × 円周率

   = 3 × 3 × π

   = 9π

(答え)9π(cm


円の公式は非常に大切です!上の説明を見てもわからない人や公式の覚え方がわからない人は、ぜひ円の面積の公式!この問題をやれば円の面積は余裕だぜ!も見てください。


円の覚えておきたい特徴

①円柱や円錐の底面積になっている。

②弦の垂直二等分線上に、円の中心がある。



【図形の公式⑧】扇形の弧の長さと面積

扇形 面積

★円の円周と面積の公式
扇形の面積の求め方


扇形は、「円の2本の半径とその間にある円の弧によって囲まれた図形」です。 それでは、扇形の弧の長さと面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の扇形の弧の長さと面積を求めよう。

扇形 弧の長さ


上図より半径=3で、円周率=π、中心角=120°なので、扇形の弧の長さと面積の公式に当てはめると、


扇形の弧の長さの求め方


扇形の覚えておきたい特徴


①円錐の展開図を書いたとき、側面は扇形。

②円の公式に、中心角÷360°をくっつけたものが扇形の公式。



【図形の公式⑨】球の表面積と体積

球の表面積の公式

★球の表面積と体積の公式
表面積 = 4 × π × 半径

体積 = 4 × π × 半径 ÷ 3


球は「ある点から一定の距離にある点の全体がつくる空間図形」です。公式にあるπの記号は「円周率」のことです。それでは、球の表面積と体積の公式の使い方を解説します。


【問題】下図の球の表面積と体積を求めよう。

球の体積の公式


半径=3で、円周率はπなので、円の表面積と体積の公式に当てはめると、

表面積 = 4 × π × 半径

    = 4 × π × 3

    = 36π

(答え)36π


体積 = 4 × π × 半径 ÷ 3

   = 4 × π × 3 ÷ 3

   = 36π

(答え)36π


球の覚えておきたい特徴


数学公式などの裏技で紹介した語呂合わせを覚えておくと覚えやすい。

②半球などの表面積や体積を求めることもできる。



【図形の公式⑩】角柱の表面積と体積

角柱の表面積

★角柱の表面積と体積の公式
表面積 = 底面積 × 2 + 側面積
 
体積 = 底面積 × 高さ


公式にある底面積は、底面の面積のことです。側面積は底面じゃない部分の面積のことをいいます。上の右図を参考にしてください。

角柱という図形は「多角形を底面とする柱体で、2枚の合同で平行な多角形の間に四角形を立たせた多面体」です。

中学校の数学では、三角柱や四角柱や五角柱が登場します。それでは、角柱の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の四角柱の表面積を求めよう。

角柱の体積の求め方


表面積の求めるには、公式にあるように底面積と側面積を求める必要があります。まず、底面積は、たて=3、横=5の長方形なので、長方形の面積の公式から


底面積 = たて × 横

    = 5 × 3

    = 15


また、側面はたて=8、横=3の長方形が2つとたて=8、横=5の長方形が2つあるので、


側面積 = 8 × 3 × 2 + 8 × 5 × 2

    = 48 + 80

    = 128


よって、底面積=15、側面積=128なので、表面積の公式に当てはめると、


表面積 = 底面積 × 2 + 側面積

    = 15 × 2 + 128

    = 158

(答え)158(cm


では、次は角柱の体積を求める練習をしましょう。


【問題】下図の四角柱の体積を求めよう。

角柱の体積の求め方


図より、高さ=8で、底面積は先ほど15とわかっているので、体積の公式に当てはめると、


体積 = 底面積 × 高さ

   = 15 × 8

   = 120

(答え)120(cm


角柱の覚えておきたい特徴


①底面は、上と下に必ず2つあり、合同な図形。

②底面の形が三角形ならば「三角柱」、四角形なら「四角柱」、五角形なら「五角柱」。



【図形の公式⑪】円柱の表面積と体積

円柱

★円柱の表面積と体積の公式
表面積 = 底面積 × 2 + 側面積

体積 = 底面積 × 高さ


円柱という図形は、「一つの円のすべての点から、円の平面外の直線(母線)に平行に引いた直線によってつくられた曲面と、この曲面を切る互いに平行な二平面に囲まれた立体」です。

言葉にするとすごく難しいですが、とにかく、上の画像を見たとき「円柱だな」とわかればOKです。それでは、円柱の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の円柱の表面積を求めよう。

円柱の体積の求め方


円柱の表面積の求めるには、角柱のときと同じように底面積と側面積を求めないといけません。まず、底面積は、半径=3の円なので、円の面積の公式から


底面積 = 半径 × 半径 × π

    = 3 × 3 × π

    = 9π


次に、側面積を出しましょう。側面積を求めるには、下のように円柱を分解した展開図で考えるとわかりやすくなります。

円柱の表面積の求め方

側面は、上の図から長方形です。長方形の面積は「たて×横」なので、②と③の長さがわかれば求めることができます。

まず②の長さ(緑の線)は円柱の高さの7ですね。そして、③の長さ(赤い線)をアナタは求めることができますか?③の長さを出せるかどうかが最大のポイントとなります。

③の長さは、図の赤い線で表しているように、底面の円周の長さと同じになります。なので、③の長さは底面の円周を求めればわかります。円周の公式は「2×半径×π」なので、


③の長さ = 2 × 3 × π

     = 6π


これで、長方形のたて(②の長さ)は7、横(③の長さ)は6πとわかったので、


側面積 = たて × 横

    = 7 × 6π

    = 42π


よって、底面積=9π、側面積=42πなので、表面積の公式に当てはめると、


表面積 = 底面積 × 2 + 側面積

    = 9π × 2 + 42π

    = 60π

(答え)60π(cm


円柱の表面積は、③の長さが底面の円周になることを覚えていないと求めれませんので、しっかり覚えて置いてください。

それでは最後に、円柱の体積を求めましょう。


【問題】下図の円柱の体積を求めよう。

円柱の体積の求め方


図より、高さは7で、底面積は上で求めたように9πだったので、体積の公式に当てはめると、


体積 = 底面積 × 高さ

   = 9π × 7

   = 63π

(答え)63π(cm


円柱の体積の求めるのは、表面積を求めるときよりも簡単なので、数学が苦手な子は、まずは体積から求められるように練習してください。


円柱の覚えておきたい特徴


①底面の円周と側面の長方形の横の長さ(上図の③の長さ)は同じ。

②底面が円なので円周と円の面積の公式を覚えておかないとダメ。



【図形の公式⑫】角錐の表面積と体積

角錐の体積

★角錐の表面積と体積の公式
表面積 = 底面積 + 側面積

体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3


角錐(かくすい)という図形は、「一つの多角形を底面とし、その各辺を底辺として平面外の一点と結ぶ三角形を側面とする立体」です。

中学や高校の数学では、三角錐や下図の四角錐がよく登場します。それでは、角錐の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の正四角錐の表面積を求めよう。

角錐の表面積


正四角錐は、底面が正方形の四角錐のことです。まず、表面積を求めるために、底面積を求めましょう。底面は正方形なので、正方形の面積の公式より、


底面積 = たて × 横

    = 6 × 6

    = 36


また、側面は底辺が6、高さが5の三角形が4つあるので、三角形の面積の公式から、


側面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2 × 4

    = 6 × 5 ÷ 2 × 4

    = 60


よって、底面積=36、側面積=60なので、表面積の公式に当てはめると、


表面積 = 底面積 + 側面積

    = 36 + 60

    = 96

(答え)96(cm


今度は、角錐の体積の求め方です。体積は表面積より簡単に求めることができます。


【問題】下図の正四角錐の体積を求めよう。

角錐の表面積


図から、正四角錐の高さは4で、底面積は上の問題で36だったので、体積の公式に当てはめると、


体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3

   = 36 × 4 ÷ 3

   = 48

(答え)48(cm


角柱や円柱など、~柱の体積を求める時は、「底面積×高さ」で求めることができますが、角錐の体積を求めるときは、「底面積×高さ÷3」の÷3に注意しましょう!


角錐の覚えておきたい特徴

①底面が正三角形や、正四角形(正方形)、正五角形の角錐をそれぞれ正三角錐、正四角錐、正五角錐という。

②体積の公式は角柱や円柱の公式に÷3をつけただけ。



【図形の公式⑬】円錐の表面積と体積

円錐の表面積

★円すいの表面積と体積の公式
表面積 = 底面積 + 側面積

体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3


円錐(えんすい)という図形は、「円を底面として持つ錐(きり)状にとがった立体」です。それでは、円錐の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【問題】下図の円錐の体積を求めよう。

円錐の体積


まずは、体積の求め方から解説します。図から、底面は半径が3の円なので、円の面積の公式から、


底面積 = 半径 × 半径 × π

    = 3 × 3 × π

    = 9π


底面積は9πとわかって、円錐の高さは図を見れば4とわかるので、円錐の体積の公式に当てはめると、


体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3

   = 9π × 4 ÷ 3

   = 12π

(答え)12π(cm


では、最後に円錐の表面積を求めましょう。


【問題】下図の円錐の表面積を求めよう。

円錐の体積


円錐の表面積の求め方は、2つあります。1つは、裏技公式を使った方法で、もう1つは教科書通りの求め方です。今回は裏技公式を使った解き方で解説します。

図を見ると母線(赤い線)は5、底面の円の半径は3なので、側面積をすぐに出せる裏技公式(知らない方は左をクリック)から、


側面積 = 母線 × 半径 × π

    = 5 × 3 × π

    = 15π


次に、底面積は半径が3の円なので、円の面積の公式から、


底面積 = 半径 × 半径 × π

    = 3 × 3 × π

    = 9π


よって、底面積=9π、側面積=15πなので、表面積の公式に当てはめると、


表面積 = 底面積 + 側面積

    = 9π + 15π

    = 24π

(答え)24π(cm


円錐の覚えておきたい特徴

①底面の円周の長さと、展開したときの扇形の弧の長さは等しい。

②側面である扇形の中心角°や側面積は、数学公式などの裏技を使えば簡単に出せる。



図形の公式一覧

それでは、最後に図形の公式を一覧にしておきます。ちゃんと覚えているかの確認テストとして、活用してください。

図形 公式 一覧

今回は、図形の公式を紹介しました。おそらく、人によって「この図形の公式が覚えにくい!」というものが出てくると思います。

ちなみに私の場合は、「円と球の公式」が非常に覚えにくかったことを覚えています。おそらく多くの人が「円と球の公式は覚えにくい!」と思うはずです。

しかし、何回も練習すれば、こんな私でも覚えることができたので、ぜひアナタも一つ一つの公式を使う練習をして、図形の面積や体積を求める問題を得意にしましょう!

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