本日は、「数学の計算問題」をまとめていきます。皆さんは、計算するのが得意ですか?私は中学生のとき、文章問題は大嫌いでしたが、計算問題は好きな方でした。

数学が苦手な人や嫌いな人の多くは、「簡単な計算ができなかったり、計算するスピードが遅い」と言われています。しかし、計算は数学の基本中の基本で、数学ができるようになるには、絶対にできないといけません。

さらに、計算できるスピードが1秒でも速くなれば、同じ1時間の勉強でも他の人よりもたくさんの問題を解くことができて、時間効率も上がります。ということで、以下に絶対にできるようになっておきたい簡単な計算問題を解説付きでたくさん紹介していきます。

計算が得意な方は、画像の問題のみ見ていただけたら、簡単に計算の総復習ができると思います。テスト前や入試前の短期集中学習として利用できると思います。

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それでは、小学生レベルから学年別に紹介していきますので、計算が苦手な中学生や高校生の方はもちろん、もう一度計算問題を学習したいと考えている社会人の方や高齢者の方も見ていただいたらと思います!


【小学生レベルの計算】

九九

分数の足し算、引き算

分数の掛け算、割り算


【中学1年生レベルの計算】

カッコの外し方

正の数、負の数の加法

正の数、負の数の減法

正の数、負の数の乗法、除法

累乗

四則の混じった計算

式の値と代入

1次式の加法、減法①

1次式の加法、減法②

1次式と数の乗法、除法①

1次式と数の乗法、除法②

方程式の解き方

小数の方程式の解き方

分数の方程式の解き方

移項

方程式の応用問題

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【九九】

計算 問題

まず、九九の計算は大丈夫でしょうか?九九の計算に自信がない人は、ひっかけ問題!難問もあるので、繰り返しやってみよう!をまず見てください。九九は大人の人でもできない人がいますので、まず九九をマスターしましょう!



【分数の足し算、引き算】

・次の分数の計算問題を解いてみよう。

計算 問題

【この計算問題の補足解説】

分数の足し算や引き算は分母を同じ数にすることがポイントです。


分母が同じなので、分子同士の3+2を計算するだけでOKです。



分母が違う数なので、通分(分子と分母に同じ数をかけること)して6にしましょう。



2は、分数で表すと2/1(1分の2)です。これを通分して、分母を3にすると、6/3(3分の6)となります。



分母が同じなので、足し算の時と全く同じで分子同士の3-2を計算すればいいだけです。


⑤⑥
足し算の時と同じです。通分して、分母をそろえましょう。



【分数の掛け算、割り算】

・次の分数の計算問題を解いてみよう。

計算問題

【この計算問題の補足解説】

分数の掛け算は、分子同士、分母同士を掛けることがポイントです。分数の割り算は、分子と分母をひっくり返して掛け算にすることが大切です。


分子は1と1なので1×1、分母は2と3なので、2×3を計算すれば完成です。



3と9は1と3に約分できる(オレンジの点線)ことに注意しましょう。また、2と4も1と2に約分できます(青い点線)ので、最初に約分しておくと計算しやすくなります。


④~⑦
分数の割り算は分子と分母をひっくり返して掛け算に変えちゃいましょう。掛け算にすれば、上の①~③と同じパターンになりますよ。



【カッコの外し方】

・次の問題のカッコを外してみよう。

計算問題 カッコの外し方

【この計算問題の補足解説】

①②
(+○)や(-○)のカッコの外し方は、そのまま外せばOKです。よって、(+2)=+2で、(-3)=-3です。なお数学では、+2は+を省略して2と書きます。



+(+○)=+○なので、+(+2)=+2となります。例えば、3+(+2)なら、3+2のように変形できます。



+(-○)=-○なので、+(-3)=-3となります。私が中学生のとき、数学の先生から「カッコを外すとき、-は+に勝つと覚えろ」と言われましたので、皆さんもよかったらこの覚え方を参考にしてください。



-(+○)=-○なので、-(+5)=-5です。先ほど言ったように、-は+に勝つんですね。2-(+5)なら、2-5というふうに変形できます。



-(-○)=+○なので、-(-5)=+5です。例えば、3-(-5)なら、3+5のように変形できます。この変形は下の減法で非常によく使います。



【正の数、負の数の加法】

・次の加法の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 正負の加法

【この計算問題の補足解説】


まずカッコの外し方を利用して、-3-2にします。-3と-2のように、-の同符号の場合の答えは、画像のように-をつけて3と2を足します。



-5と-3で、-の同符号なので、①と同じように、答えは-をつけて5と3を足せばOKです。



2と-5のように、+と-の符号が違うときの計算は、絶対値の大きい方の符号をつけます。2と-5のうち、絶対値が大きいのは-5なので、答えは-になります。

後は、絶対値の大きい方から小さい方を引けばいいです。つまり、-(5-2)となります。なお、絶対値がわからない方は、絶対値とは?絶対値の計算や問題はこの呪文で解けるんだ!を読んでください。



-4+6も、-と+で符号が違うので、絶対値の大きい方の符号をつけます。-4と+6のうち、絶対値が大きいのは+6なので、答えは+になります。

後は、絶対値の大きい方から小さい方を引けばいいです。つまり、+(6-4)=+2となります。



【正の数、負の数の減法】

・次の減法の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 正負の減法

【この計算問題の補足解説】

正負の減法は、カッコの外し方と、先ほどの正負の加法の知識をうまく使えばできます。特に、③~⑥の-(-○)=+○のパターンが間違えやすいので注意しましょう。



【正の数、負の数の乗法、除法】

・次の乗法や除法の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 乗法、除法

【この計算問題の補足解説】

この問題のように、正負が混ざった掛け算、割り算は「答えが+なのか-なのかを判断する習慣」をつけましょう。①、②、④、⑤のように、+と-の掛け算や割り算の答えは、-になります。

一方、③、⑥、⑦のように、-同士の掛け算や割り算の答えは+になります。そして、答えが+なのか-なのかわかったら、後は小学校で習った掛け算と割り算のようにして計算すればいいだけです。

例えば、2×(-5)なら、「+と-の掛け算だから、答えは-だな。」⇒「2×5=10だから、答えは-10だな」みたいな流れで考えると良いでしょう。 

また③、⑥、⑦のように、答えが+とわかっている場合は、邪魔な-は消して考えると、わかりやすいと思います。



【累乗】

・次の累乗の計算問題を解いてみよう。

計算 問題 累乗

【この計算問題の補足解説】

①②
は3×3を、は3×3×3を意味します。このように、同じ数をいくつもかけたものを累乗(るいじょう)と言います。例えば、3なら、3×3×3×3ということで、3を4回かけることを意味します。


③④
(-2)や(-2)のような(-○)の計算をするときは、まず答えが+になるのか-になるのかを判断しましょう。

△の数が③のように、奇数のときは、答えは-になります。また、④のように、△の数が偶数なら、答えは+になります。ちなみに△の部分を数学では「指数」といいます。



指数が2017で奇数なので、答えは-になります。後は1を2017回掛けることになるのですが、1は何回かけても1なので、答えは-1になります


⑥⑦
(-○)のように、△がカッコの内側に来ている場合の答えは、必ず-になります。③④のように、△が外側の場合との違いがややこしいので、よくテストに出ます。



この問題も、「最終的に答えが+なのか、-になのか?」がわかりにくい問題です。まず、(-1)の計算をすると+1となり、-(+1)なので、最終的にカッコの外し方のルールにより、答えは-1となります。



【四則の混じった計算】

・計算する順番に注意して、次の計算問題を解いてみよう。

四則の混じった計算問題

【この計算問題の補足解説】

+、-、×、÷の四則や(3-5)や累乗を含む計算のときは、計算する順番にルールがあるので注意しましょう。計算する順番は、 ①累乗、カッコ ⇒ ②掛け算、割り算 ⇒ ③足し算、引き算 の順にしていきます。

例えば、①の問題で、7+3×(-4)=10×(-4)=-40という感じで、足し算から先に計算すると間違いになります。なぜなら、上のルールで、掛け算の方が先と決められているからですね。

上の画像では、先に計算するところを青い点線で示してありますので、どの計算を先にするべきなのか?を理解していただけたらと思います。



【式の値と代入】

・次の式の値を求めてみよう。

式の値と代入法

【この計算問題の補足解説】

x=3などの数字を、もとの式のxにあてはめることを数学では、「代入する」といいます。②のx=-2など、-の数を代入するときは、カッコをつけるなどの書き方に注意しましょう。

また、④と⑤は間違えやすい問題なので、答えが+なのか-になるのかをしっかり見極められるようにしておきましょう。



【1次式の加法、減法①】

・次の計算問題を解いてみよう。

文字の加法

【この計算問題の補足解説】

2x+3xのような文字を含んだ足し算や引き算は、前についている数字を足したり、引いたりするだけです。なお、②のxの前には、数字の1があると考えてください。

数学では、1xのようには書かず、1を省略してxと書きます。なので、③の答えは1xと書かないように注意しましょう。また④の答えは0xとなりますが、0x=0のことなので、0xと書かずに0と書きましょう。



【1次式の加法、減法②】

・①~④は、カッコを外してみよう。④~⑥は計算問題を解いてみよう。

文字の計算

【この計算問題の補足解説】

①~④
①や②のようにカッコの前に-がついていない場合は、そのままカッコを外してもOKです。しかし、③の-(5x-1)のように、カッコの前に-があるときのカッコを外すときは注意です!

例えば、-(5x-1)=-5x-1という間違いをしてしまう子が非常に多いです。私が家庭教師として教えてきた生徒様の中にもよくこのようなミスをする子がいます。

-(5x-1)=-5x+1です。カッコの前に-がある場合は、カッコを外すと、カッコの中の+と-の符号が逆になるので、注意しましょう。


⑥⑦
先ほど言ったように、カッコの前に-があるときは要注意です。テストを作る人はこの⑥や⑦の問題で、私達を間違わさせてようとしてくるので、ひっかからないようにしましょう!



【1次式と数の乗法、除法①】

・次の計算問題を解いてみよう。

文字の乗法、除法の計算問題

【この計算問題の補足解説】

2×3xのような数字と文字の掛け算は、数字同士を掛けて、文字は最後にくっつけるだけでOKです。割り算についても同じです。正の数、負の数の乗法、除法の計算を理解していたら、比較的簡単に解くことができますよ。



【1次式と数の乗法、除法②】

・次の計算問題を解いてみよう。

文字の乗法、除法 計算問題

【この計算問題の補足解説】

3(2x-4)=3×2x+3×(-4)のように、○(☐+△)=〇×☐+○×△のようにすることを分配法則といいます。〇をカッコの中の数にそれぞれ掛けるという法則です。

分配法則は、割り算の場合もあります。例えば④の(-4x+6)÷2なら、分配法則を使うと、-4x÷2+6÷2のように、カッコの中の数をそれぞれ割って計算することになります。

中学1年生で習うこの分配法則は、これから中学2年生~大学入試まで、非常に使うことが多いので、絶対にマスターしてください。



【方程式の解き方】

・次の方程式を解いてみよう。

方程式の解き方

【この計算問題の補足解説】

2x=6のような、xと=が一緒にある式を、数学では「方程式」といいます。2x=6のような○x=△の解き方は、xの前にある数の○を右辺(=の右側の数△のこと)の分母にもっていけば解くことができます。

例えば、①なら2x=6なので、xの前にある数字の2を右辺の分母にもっていき、6/2(2分の6)とすればOKです。後は約分できる場合は、必ず約分をしておきましょう!

ちなみに、私の経験上、④以降の方程式の問題を解けない子が多いと思います。例えば、④の答えを0、⑤の答えを1や-3、⑥の答えを-1にするようなミスが目立ちます。おそらく移行の考え方と勘違いしているのでしょう。

なお、⑧や⑨のように右辺が分数のときは、xの前の数字と右辺の分母を掛けます。例えば、⑧の問題なら、xの前の数が3なので、右辺の分母に3をもっていくのですが、右辺の分母が2なので、2×3=6となります。




【小数の方程式の解き方】

・次の方程式を解いてみよう。

小数の方程式の解き方

【この計算問題の補足解説】

方程式は、=の両辺(=の左側の数と右側の数のこと)に同じ数を掛けたり、割ったりしても良い」という特徴があります。例えば、2=2の両辺に×10をすると、2×10=2×10で20=20となり、=の関係が成り立ちますね。

この特徴から、問題①の0.2x=6の両辺に×10をしてもOKなんです。小数が入っている方程式の問題は両辺に×10や×100をして、小数点をなくしてから解いていきましょう。



【分数の方程式の解き方】

・次の方程式を解いてみよう。

分数の方程式の解き方

【この計算問題の補足解説】

先ほど言ったように、「方程式は=の両辺(=の左側の数と右側の数のこと)に同じ数を掛けても良い」ので、分数の方程式のときもこの特徴をうまく使います。

分数の方程式の解き方のコツは、xの前についている分母の数を両辺に掛けることです。例えば、①ならxの前についている分数の分母は4なので、両辺に4を掛ければ、分母の4を消すことができます。

②や③も同じで、xの前についている分母を両辺に掛ければ、分母が消えて、方程式の解き方のパターンになるので、解くことができますね。



【移項】

・次の方程式を解いてみよう。

移行

【この計算問題の補足解説】

問題①のx+4=-2の+4を右辺に移動させると、x=-2-4になります。このように、=を飛びこえて、左辺の数を右辺に移動させることを数学では、「移項する」といいます。

また、問題②の右辺の2xを左辺に移動させることも「移項」といいます。この移項をしたときに、絶対にしないといけないことがあります。それは「+と-の符号を逆にする」ということです。

例えば、問題①の左辺の+4を右辺に移項すると、+4を-4にしないといけません。問題②でも同じで、右辺の2xを左辺に移項したら、-2xのように、符号を逆にしないといけません。

移項したのに、+と-を逆にするのを忘れてしまうミスをよくしてしまうので、とにかく「=を飛びこえたら、符号を逆にする習慣」をつけましょう。



【方程式の応用問題】

・次の方程式を解いてみよう。

方程式の応用問題

【この計算問題の補足解説】


0.2などの小数を含む方程式は、小数の方程式の解き方でやったように、両辺を10倍したりすることで計算しやすくなります。なので、左辺の0.2と-0.1x、右辺の0.3xと1をすべて10倍してください。

そうすれば、移項でやった問題と同じ形になりますね。



2/3などの分数を含む方程式も、分数の方程式の解き方でやったように、両辺を何倍かして、分母を消すことができれば、解くことができます。

分母を消すために、分数の分母に注目すると、左辺には3、右辺には2があるので、3と2の最小公倍数の6をかけると分母の3と2を消すことができます。

ちなみに、3と2の最小公倍数とは、3でも2でも割り切れる数のことです。6は3でも2でも割れますよね。なので、①と同じように、左辺の2x/3と-2、右辺の3x/2と+3をすべて6倍してやれば、分母が消えて見慣れた形になります。

分数の方程式の問題は、まず「最小公倍数を両辺にかけて分母を消す!」というのがポイントです。

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