こんにちは、三重の家庭教師です。本日も三重大学の数学の過去問を解いたので解説していきます。今回は2015年の医学部と工学部で出題された第3問の解答です。

出題範囲は、数学Ⅲの「積分」です。三重大学の医学部や工学部は、毎年必ずといっていいほど、数Ⅲの「微積」に関連する問題が出題されます。

なので、三重大学の医学部や工学部を目指す方は、数Ⅲの「微積」をしっかり対策してください。それでは、問題と解答を以下で紹介していきます。


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三重大学工学部の過去問と解答

【問題】
三重大学の数学の過去問

関数f(x)=e^(√x-1)-√x (x≧0)を考える。以下の問いに答えよ。

(1)f(x)≧0を示せ。また等号が成立するようなxの値を求めよ。

【解答】
三重大学の数学の入試問題

【解説】
x≧0でf(x)≧0を示したいので、x≧0の範囲でf(x)の最小値が0以上であることを証明すればOK。そのために、増減表を作って確認しよう。


(2)曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

【解答】
三重大学の数学の解答

【解説】
グラフを書いて、面積を求めるというよくあるパターンです。(1)の増減表から、グラフと求める面積の部分は比較的簡単にわかります。

しかし、ここからの計算が結構大変です。√x=tとおいて、置換積分をして、さらに∫e・2tdtは部分積分法を使わないと解けません。

部分積分法を使う問題は、三重大でよく出題されています。部分積分のやり方がわからない人は部分積分のコツを誰でも簡単にマスターできる裏ワザ!で解説しているので、そちらを見てください。


それでは、次は医学部の問題です。

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三重大学医学部の過去問と解答

【問題】
三重大学 医学部 過去問
 

(1)は工学部の(1)と同じ問題です。なので、解答は工学部の解答をご覧ください。


(2)曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

【解答】
三重大学の過去問、医学部

【解説】
(1)の問題で増減表を書いているので、f(x)のグラフをまず書きます。工学部の問題は、面積を求める問題でしたが、医学部は回転体の体積を求めるパターンです。

解答の途中の計算で、√x=tとおいて、置換積分をして、さらに部分積分法を使わないといけない部分があります(青色の点線部分)。その計算は以下のようにします。

三重大学の過去問の解説

上の部分積分の解説を見てもわからない方は、部分積分のコツを誰でも簡単にマスターできる裏ワザ!を読んでください。

上の記事で、部分積分をできる限り素早く解ける方法を紹介しています。三重大学の問題は、年によって、計算量が多いときがあるので、ぜひ使えるようになってください。

それでは、もう一つの積分計算の解説にうつります。

三重大学の数学の過去問を解いてみた

工学部の問題は、部分積分を1回するだけ解けましたが、医学部の問題は部分積分を2回しないといけないため、さらに計算量が増えます。さすが医学部の問題って感じですね。


以上で、2015年の工学部と医学部の過去問の解答は終了です。他の三重大学の過去問をお探しの方は、三重大の過去問を解説!数学の解答を作ってみた!をご覧ください。

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