4stepの解説や解答をこの記事で紹介していきます。4stepなどのわからない問題の解説・解答がほしい方、誤字・脱字、間違い等を見つけた方は、お気軽にコメント欄などで、三重の家庭教師にまでご連絡ください。

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ペンネーム「はる」さんからいただいた、4stepの質問です。

☐≧△を証明したいときは、「☐-△が0以上になる、つまり、☐-△≧0」ということを証明すればOKです。ちなみに、等号成立は、☐-△=0、つまり☐=△のときです。

4step、数Ⅱの問題  (1)(a+b)(x+y)≧(ax+by) を示せ。

4step(1)の解説、解答
4step 解説

(ay-bx)≧0になるのは、☐は☐が実数なら、何を入れても0以上になる、つまりマイナスの数にはならないからです。不等式の証明問題では、☐≧0をよく使いますので、覚えておきましょう。


(2)3x+2y=1のとき、x+yの最小値を求めよ。

(1)を利用すると、解きやすくなる問題です。誘導問題というやつですね。ポイントはa=3、b=2を代入することです。

4step(2)の解説、解答
4step 解答

+y≧1/13(13分の1)ということは、x+yは1/13以上ということで、言い変えると、最小値が1/13ということを意味します。


(3)x+y=1のとき、2x+3yの最大値を求めよ。

これも(1)を利用すると、解きやすくなる誘導問題です。ポイントはa=2、b=3を代入することです。

4step(3)の解説、解答
4step 解説解答

2x+3y≦√13 ということは、「√13より大きくならない」ということなので、2x+3yの最大値は√13ということになります。



ペンネーム「みきしん」さんからいただいた、4stepの質問です。

4step、数Aの問題 a、bは実数とする。次の命題の真偽を調べよ。
(1)ab=0ならばa+b=0である。
(2)abが有理数ならば、a、bはともに有理数である。
(3)a+b、abがともに有理数ならば、a、bはともに有理数である。

4step(1)の解説、解答
明らかに偽である。反例は、a=0、b=3なら、ab=0だが、a+b=0+9=9となり、結論であるa+b=0にはならない。

4step解答、解説


4step、数Aの問題 次の命題の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定の真偽を求めよ。
(1)すべての実数xについて (x-1)≠0 である。
(2)ある自然数nについて n=5n

4step(1)の解説、解答
「すべてのxについてpである」の否定は、「あるxについてpでない」という知識を利用する。
よって、すべての実数xについて (x-1)≠0の否定は、あるの実数xについて (x-1)² = 0である。

すべての実数xについて (x-1)≠0 の真偽は、偽である。反例は、x=1のときなら、(x-1)=0となる。
あるの実数xについて (x-1)= 0 の真偽は、真である。ある実数x=1なら、(x-1)=0となるから。

4step(2)の解説、解答
「あるxについてpである」の否定は、「すべてのxについてpでない」という知識を利用する。
よって、ある自然数nについて n=5n の否定は、すべての自然数nについて n≠5n である。

ある自然数nについて n=5n の真偽は、真である。n=5のときなら、n²=5nとなる。
すべての自然数nについて n≠5n の真偽は、偽である。反例はn=5なら、n=5nとなるから。


4step解説、解答、数学A問題
4step(1)の解説、解答
4step解説、解答、数学A

4step(2)の解説、解答
4step解説、解答、数学A

4step(3)の解説、解答
4step解説、解答、数学A問題

4step、数Aの問題 a、bは整数とするとき、次のことを背理法を用いて証明せよ。
(1)abが奇数ならば、a、bはともに奇数である。
(2)abが偶数ならば、a、bの少なくとも一方は偶数である。

4step(1)の解説、解答
「a、bともにpである」の否定は、「a、bの少なくとも一方はpでない。」を知っているかがポイント。 例えば、「a、bはともに奇数 ←否定→ a、bの少なくとも一方は偶数」となる。

背理法により、abが奇数ならば、a、bの少なくとも一方は、偶数であると仮定する。aを偶数、bを奇数とすると、a=2m、b=2n+1(m、nは整数)とおける。 ここで、ab=2m×(2n+1)=2×(2mn+2)となるので、abは偶数となる。しかし、abは条件より奇数なので、この等式は矛盾する。よって、もとの題意は正しい。

4step(2)の解説、解答
背理法により、abが偶数ならば、a、bともに奇数であると仮定する。a、bは奇数なので、a=2m+1、b=2n+1(m、nは整数)とおける。 ここで、ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1 =2×(2mn+m+n)+1 となるので、abは奇数となる。しかし、abは条件より偶数なので、この等式は矛盾する。よって、もとの題意は正しい。


4step、数Aの問題 m、nは整数とする。次の命題を証明せよ。
(1)nが5の倍数ならば、nは5の倍数である。
(2)mnが3の倍数ならば、m、nの少なくとも一方は3の倍数である。

4step(1)の解説、解答
もとの命題の対偶をとると、「nが5の倍数でないならば、n2は5の倍数でない」となる。 nは5の倍数でないので、 n=5m-1、5m-2、5m-3、5m-4(mは整数)とおける。

①n=5m-1のとき n=(5m-1)=25m-10m+1=5(5m-2m)+1 となり、nは5の倍数でない。

②n=5m-2のとき n=(5m-2)=25m-20m+4=5(5m-4m)+4 となり、nは5の倍数でない。

③n=5m-3のとき n=(5m-3)=25m-30m+9=5(5m-6m+1)+4 となり、nは5の倍数でない。

④n=5m-1のとき n=(5m-4)=25m-40m+16=5(5m-8m+3)+1 となり、nは5の倍数でない。

①から④より、対偶が真なので、もとの命題も真。

4step(2)の解説、解答
もとの命題の対偶をとると、「m、nともに3の倍数でないならば、mnは3の倍数でない」となる。 m、nは3の倍数でないので、 m=3a+1、3a+2(aは整数でnも同様)とおける。

①m=3a+1、n=3b+1(bは整数)のとき mn=(3a+1)(3b+1)=9ab+3a+3b+1 =3(3ab+a+b)+1 となり、mnは3の倍数でない。

②m=3a+1、n=3b+2(bは整数)のとき mn=(3a+1)(3b+2)=9ab+6a+3b+2 =3(3ab+2a+b)+2 となり、mnは3の倍数でない。

③m=3a+2、n=3b+2(bは整数)のとき mn=(3a+2)(3b+2)=9ab+6a+6b+4 =3(3ab+a+b+3)+1 となり、mnは3の倍数でない。

①から③より、対偶が真なので、もとの命題も真。


4step解説、解答、数学A問題


4step、数Aの問題 p、qが有理数、Xが無理数で、p+qX=0であるならば、p=0、q=0であることを証明せよ。

4step(1)の解説、解答
4step解説、解答、数学A問題


ペンネーム「通報部隊」さんからいただいた、4stepの質問です。

4step、数Aの問題 次の等式を満たす有理数p、qの値を求めよ。4step
4step(1)の解説、解答
4step、解説

4step(2)の解説、解答
4step、解答


4step、数Aの問題 nは整数とする。次のことを証明せよ。
(1)n+5n+4は偶数である。
(2)n+1は3の倍数でない。

4step(1)の解説、解答
nは整数なので、奇数か偶数となり、n=2m-1とn=2m(mは整数)とおいて、場合分けで考える。

①n=2m-1のとき n+5n+4=(2m-1)+5(2m-1)+4=4m+6m=2(2m+3m)
よって、偶数となる。

②n=2mのとき  n+5n+4=(2m)+5(2m)+4=4m+10m+4=2(2m+5m+2)
よって、偶数となる。

①、②より、題意をみたす。

4step(2)の解説、解答
n=3m、3m+1、3m+2(mは整数)とおいて場合分けする。

①n=3mのとき、n+1=(3m)+1=9m+1=3×3m+1
よって、3の倍数ではない。

②n=3m+1のとき、n+1=(3m+1)+1=9m+6m+2=3(3m+2m)+2
よって、3の倍数ではない。

③n=3m+2のとき、n+1=(3m+2)+1=9m+12m+5=3(3m+4m+1)+2
よって、3の倍数ではない。

①~③より、題意をみたす。

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