図形の公式の一覧をまとめておきます。図形の面積や体積を求めることは、算数や数学では非常によくあります。

図形公式

図形の公式は、下のようにたくさんありますので、覚えるのが大変だと思います。「なかなか覚えられないよー」という方は、まず下の記事を先に読んでいただけると、図形の公式が覚えやすくなると思います。

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暗記方法!暗記が苦手な人でも簡単に覚えられるコツ!

↓ 語呂合わせなどが好きな方 ↓
数学公式の最強裏技一覧!中学生や高校生の方はぜひ見て!


それでは、調べたい公式の図形をクリックしてください。(iPhoneやスマートフォンの方は、クリックしてもジャンプしないことがありますので、お手数ですが、スライドさせて見てください。)


長方形

正方形

平行四辺形

ひし形

三角形

台形



扇形(おうぎ形)



角柱(三角柱、四角柱など)

円柱

角錐(三角錐、四角錐など)

円錐

グラフで囲まれた図形(積分で面積を求める図形)

楕円【数Ⅲを学習している人向け】

図形公式のまとめ一覧

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【図形①】長方形の面積を求める公式

図形 公式

★公式  長方形の面積 = たての長さ × よこの長さ

長方形という図形は、「4つの角がすべて等しい四角形」です。 それでは、長方形の面積の求め方を下の例で解説します。


【例】 右上図で、たての長さが3cm、よこの長さが5cmの長方形の面積を求めよう。

たての長さ=3、よこの長さ=5なので、公式に当てはめると、

長方形の面積 = × 5 = 15 (cm


面積の公式以外で、覚えておきたい長方形の特徴は、3つです。

【図形の特徴】
①4つの内角はすべて90°(直角)である。
②向かい合う辺は、平行である。
③2本の対角線は、長さが等しい。



【図形②】正方形(正四角形)の面積を求める公式

図形 公式

★公式  正方形(正四角形)の面積 = たての長さ × よこの長さ

正方形(正四角形)という図形は、「4つの辺の長さがすべて等しく、4つの角がすべて等しい四角形」です。 それでは、正方形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、たての長さが4cmの正方形の面積を求めよう。

たての長さ=4なので、よこの長さも4となり、公式に当てはめると、

正方形の面積 = × 4 = 16 (cm


なお、正方形の面積を求める公式は、もう一つあります。

正方形の対角線と面積

★公式  正方形(正四角形)の面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2

正方形は、対角線の長さがわかっていたら、面積を出すことも可能です。それでは、対角線の長さがわかっている正方形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、対角線の長さが10cmの正方形の面積を求めよう。

対角線の長さ=10なので、公式に当てはめると、

正方形の面積 = 10 × 10 ÷ 2 = 50 (cm


面積の公式以外で、覚えておきたい正方形の特徴は、3つです。

【図形の特徴】
①4つの内角はすべて90°(直角)である。
②向かい合う辺は、平行である。
③2本の対角線は、長さが等しい。



【図形③】平行四辺形の面積を求める公式

図形の公式

★公式  平行四辺形の面積 = 底辺 × 高さ

平行四辺形という図形は、「2組の向かい合う辺(対辺)がそれぞれ平行な四角形」です。 それでは、平行四辺形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、底辺が5cm、高さが3cmの平行四辺形の面積を求めよう。

底辺=5、高さ=3、なので、公式に当てはめると、

平行四辺形の面積 = 5 × 15 (cm


面積の公式以外で、覚えておきたい平行四辺形の特徴は、4つです。

【図形の特徴】
①2組の向かい合う辺(対辺)はそれぞれ等しい。
②2組の向かい合う角(対角)はそれぞれ等しい。
③隣り合う角度を足すと180°になる。
④対角線はそれぞれの中点で交わる。



【図形④】ひし形の面積を求める公式

ひし形 面積

★公式  ひし形の面積 = 底辺 × 高さ

ひし形という図形は、「4つの辺がすべて等しい四角形」です。 それでは、ひし形の面積の求め方を以下の例で解説します。


【例】 右上図で、底辺が4cm、高さが2cmのひし形の面積を求めよう。

底辺=4、高さ=2、なので、公式に当てはめると、

ひし形の面積 = 4 × (cm


なお、ひし形の面積を求める公式は、もう一つあります。

ひし形の面積

★公式  ひし形の面積 = 1つの対角線 × もう1つの対角線 ÷ 2

ひし形は、正方形と同じで、対角線の長さがわかっていたら、面積を出すことが可能です。それでは、対角線の長さがわかっているひし形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、対角線の長さが8cm、4cmのひし形の面積を求めよう。

1つの対角線の長さ=8、もう1つの対角線の長さ=4なので、公式に当てはめると、

ひし形の面積 = 8 × ÷ 2 = 16 (cm


面積の公式以外で、覚えておきたいひし形の特徴は、3つです。

【図形の特徴】
①ひし形は、平行四辺形ともいえるので、平行四辺形の特徴をもつ。
②平行四辺形の特徴をもつので面積の公式も平行四辺形の公式と同じになる。
②対角線は垂直に交わる。

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【図形⑤】三角形の面積を求める公式

図形の公式

★公式  三角形の面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2

三角形という図形は、「同一直線上にない3点と、それらの点を結ぶ3つの線分からなる多角形」です。 また、三角形は上図のように、3種類あります。

その3種類は、1つの角度に90°を含む三角形の①直角三角形、すべての角が90°より小さい三角形の②鋭角(えいかく)三角形、③3つの角度のうち、1つの角度が90°より大きい三角形の③鈍角(鈍角)三角形です。


それでは、三角形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 下図で、底辺(AB)が6cm、高さが3cmの三角形の面積を求めよう。

図形の公式

底辺=6、高さ=3、なので、公式に当てはめると、

三角形の面積 = 6 × ÷ 2 = (cm


面積の公式以外で、覚えておきたい三角形の特徴は、3つです。


【図形の特徴】
①三角形の角度(内角)を全部足すと180°になる。
②二等辺三角形は、二辺が等しく、底角の2つの角度が等しい。
③正三角形は、三辺が等しく、すべての角度が60°になる。



【図形⑥】台形の面積を求める公式

図形の公式

★公式  台形の面積 = ( 上底 + 下底 ) × 高さ ÷ 2

台形という図形は、「四角形の一部で、少なくとも一組の向かい合う辺(対辺)が互いに平行になるような図形」です。 それでは、台形の面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、AD=4cm、BC=8cm、高さが3cmの台形の面積を求めよう。

上底(AD)=4、下底(BC)=8、高さ=3なので、公式に当てはめると、

台形の面積 = ( + 8 ) × ÷ 2 = 18 (cm


面積の公式以外で、覚えておきたい台形の特徴は、2つです。


【図形の特徴】
①上底と下底は、平行になっている。
②右図のように、AB=CDになるような台形を、「等脚台形」という。



【図形⑦】円の円周と面積を求める公式

円の公式は非常に大切です!下の説明を見てもわからない人や公式の覚え方がわからない人は、ぜひ円の面積の公式!この問題をやれば円の面積は余裕だぜ!を先に見てきてください。

数学、公式

★公式

円の円周 = 直径 × 円周率3.14 = 2 × 半径 × 円周率3.14

円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率3.14

円という図形は、「平面上の、ある点からの距離が等しい点の集合でできる曲線の図形」です。 それでは、円の円周と面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、半径の長さが3cmの円の円周と面積を求めよう。

この問題は、小学生の方と中学生以上の方とでは、答え方が違うので、①小学生向け解答と②中学生以上向けの解答を参考にされてください。


①小学生向けの解答

半径=3なので、公式に当てはめると、

円の円周 = 2 × × 3.14 = 18.84 (cm)

円の面積 = × × 3.14 = 28.26 (cm


②中学生以上向けの解答

半径=3で、円周率はπなので、公式に当てはめると、

円の円周 = 2 × × π = 6π (cm)

円の面積 = × × π = 9π (cm


円周と面積の公式以外で、覚えておきたい円の特徴は、2つです。

【図形の特徴】
①円柱や円錐の底面積になっている。
②弦の垂直二等分線上に、円の中心がある。



【図形⑧】扇形の弧の長さと面積を求める公式

図形の公式

扇形という図形は、「円の2本の半径とその間にある円の弧によって囲まれた図形」です。 それでは、扇形の弧の長さと面積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、半径の長さが3cm、中心角が120°の扇形の弧の長さと面積を求めよう。

半径=3で、円周率はπ、中心角=120°なので、公式に当てはめると、

図形の公式


弧の長さと面積の公式以外で、覚えておきたい扇形の特徴は、2つです。


【図形の特徴】
①円錐の展開図を書いたとき、側面にあたる部分が扇形になる。
②円の円周、面積の公式に、中心角÷360°をくっついたものが扇形の公式となる。



【図形⑨】球の表面積と体積を求める公式

図形 公式

★公式  

球の表面積 = 4 × 円周率π × 半径 

球の体積 = 4 × 円周率π × 半径 ÷ 3

球という図形は、「ある点から一定の距離にある点の全体がつくる空間図形」です。 それでは、球の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、半径の長さが3cmの球の表面積と体積を求めよう。

半径=3で、円周率はπなので、公式に当てはめると、

球の表面積 = 4 × π × 36π (cm

球の体積 = 4 × π × ÷ 3 = 36π (cm


表面積と体積の公式以外で、覚えておきたい球の特徴は、1つです。


【図形の特徴】
数学公式などの裏技で紹介した語呂合わせを覚えておくと覚えやすい。



【図形⑩】角柱の表面積と体積を求める公式

図形 公式

★公式  

角柱の表面積 = 底面積 × 2 + 側面積 
 
角柱の体積 = 底面積 × 高さ


角柱という図形は、「多角形を底面とする柱体で、2枚の合同で平行な多角形の間に四角形を立たせた多面体」です。それでは、角柱の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、底面が5cm、3cmの長方形で、高さが8cmの四角柱の表面積と体積を求めよう。

底面積(底面の面積)は、

横5cm縦3cmの長方形の面積 = 5 × 3 = 15


側面積(側面の面積)は

横3cm縦8cmの長方形の面積が2つ + 横5cm縦8cmの長方形の面積が2つ

3 × 8 × 2 + 5 × 8 × 2 = 48 + 80 = 128
             
底面積=15で、側面積=128、高さ=8なので、公式に当てはめると、

四角柱の表面積 = 15 × 2 + 128 = 158 (cm

四角柱の体積 = 15 × 8 = 120 (cm


表面積と体積の公式以外で、覚えておきたい角柱の特徴は、2つです。


【図形の特徴】
①底面は、上と下に必ず2つあり、合同な図形となる。
②底面の形が三角形ならば「三角柱」、四角形なら「四角柱」、五角形なら「五角柱」という。



【図形⑪】円柱の表面積と体積を求める公式

図形の公式

★公式  

円柱の表面積 = 底面積 × 2 + 側面積 
 
円柱の体積 = 底面積 × 高さ


円柱という図形は、「 一つの円のすべての点から、円の平面外の直線(母線)に平行に引いた直線によってつくられた曲面と、この曲面を切る互いに平行な二平面に囲まれた立体」です。それでは、円柱の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、底面の半径が3cm(上図の①の長さ)、高さ7cm(上図の②の長さ)の円柱の表面積と体積を求めよう。

底面積(底面の面積)は、

半径3cmの円の面積 = 3 × 3 × π = 9π


側面積(側面の面積)は、

縦7cm横6π(半径3cmの円周)cmの長方形の面積

= 7 × 6π = 42π
             
底面積=9πで、側面積=42π、高さ=7なので、公式に当てはめると、

円柱の表面積 = 9π × 2 + 42π = 60π (cm

円柱の体積 = 9π × 7 = 63π (cm


表面積と体積の公式以外で、覚えておきたい円柱の特徴は、1つです。


【図形の特徴】
①底面の円周と展開図の長方形の横の長さ(上図の③の長さ)は、同じ長さとなる。



【図形⑫】角錐の表面積と体積を求める公式

図形の公式

★公式  

角錐の表面積 = 底面積 + 側面積 
 
角錐の体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3
 

角錐という図形は、「一つの多角形を底面とし、その各辺を底辺として平面外の一点と結ぶ三角形を側面とする立体」です。それでは、角錐の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図で、底面が長さ5cmの正方形で、高さが3cmの四角錐(正四角錐)がある。側面の三角形の高さが6cmであるとき、この四角錐の表面積と体積を求めよう。

底面積(底面の面積)は、

5cmの正方形の面積 = 5 × 5 = 25

側面積(側面の面積)= 底辺5cm高さ6cmの三角形の面積が4つ

= 5 × 6 ÷ 2 × 4 = 60
             
底面積=25で、側面積=60、四角錐の高さ=3なので、公式に当てはめると、

四角錐の表面積 = 25 + 60 = 85 (cm

四角錐の体積 = 25 × 3 ÷ 3 = 25 (cm


表面積と体積の公式以外で、覚えておきたい角錐の特徴は、1つです。


【図形の特徴】
①底面が正三角形や、正四角形(正方形)、正五角形の角錐をそれぞれ正三角錐、正四角錐、正五角錐という。



【図形⑬】円錐の表面積と体積を求める公式

図形の公式

★公式

円錐の表面積 = 底面積 + 側面積 
 
円錐の体積 = 底面積 × 高さ ÷ 3
 

円錐という図形は、「円を底面として持つ錐(きり)状にとがった立体」です。それでは、角錐の表面積と体積の求め方を以下の例で解説していきます。


【例】 右上図に、底面の半径が長さ3cmで、高さが4cm、母線が5cmの円錐がある。この円錐の表面積と体積を求めよう。

図形の公式

底面積=9πで、側面積=15π、円錐の高さ=なので、公式に当てはめると、

円錐の表面積 = 9π + 15π = 24π (cm

円錐の体積 = 9π × ÷ 3 = 12π (cm


表面積と体積の公式以外で、覚えておきたい円錐の特徴は、2つです。


【図形の特徴】
①底面の円周の長さと、展開したときの扇形の弧の長さは等しい。

②扇形の中心角216°や側面積15πは、実は簡単に求めることができる。詳しくは、数学公式などの裏技で紹介しています。



■図形公式のまとめ一覧

図形の公式

※コメント欄の「名無し」さんから指摘をいただきましたが、⑥の球の表面積の下にある公式は、「面積」ではなく、正しくは「体積」の公式です。「名無し」さん、ご指摘ありがとうございました。



【最後に】

今回は、図形の公式を紹介しました。おそらく、人によって「この図形の公式が覚えにくい!」というものが出てくると思います。

ちなみに私の場合は、「円と球の公式」が非常に覚えにくかったことを覚えています。おそらく多くの人が「円と球の公式は覚えにくい!」と思うはずです。

しかし、何回も練習すれば、こんな私でも覚えることができたので、ぜひアナタも一つ一つの公式を使う練習をして、図形の面積や体積を求める問題を得意にしましょう!

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