中学3年生の数学で習う「因数分解の解き方」を、皆さんはご存じでしょうか?因数分解は、中学3年生の1学期の中間テストや、前期の中間テストに出題する学校が多いです。

三重県の中学校も、ちょうど1学期に、この「因数分解」がテストの出題範囲なので、私も最近この因数分解を中学3年生の生徒様に指導しています。

因数分解は、パターンが多いので、覚えるのが大変ですが、超重要分野です。なぜなら、二次方程式の解き方。この計算だけは解けるようになっておこう。でも紹介しているように、後で習う二次方程式などで使うからです。

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さらに、因数分解は、高校1年生の方も、入学してすぐに数学Ⅰで習います。これから大学受験を考えている人なら、少なくとも1000回ぐらい因数分解をする機会があると思います。

ということで、今回はこの非常に大切な因数分解のパターンをまとめました。あくまで、因数分解のパターンの確認を重視しているので、解説は簡潔にしています。中学3年生の方は、テスト前の確認用として参考にしていただけたら幸いです。

また、高校生の方も数学Ⅰで因数分解を習いますので、たすきがけのやり方!これで因数分解ができまくる!と合わせて読んでいただけたら幸いです。



■因数分解の解き方
因数分解は、次の3手順で解いていくと良いと思います。

(1)数字でくくれるかどうか考える。
(2)a、x、yなど文字でくくれるかどうか考える。
(3)下のパターン②~④が出たら、さらに因数分解する。


それでは、因数分解のパターンやコツ、やり方を下にまとめていきます。

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①5x-10xyなどの「数字と文字でくくるだけ」の因数分解
因数分解

この因数分解が、一番シンプルなパターンです。数字や文字でくくれば、そこで因数分解が完了となりますが、応用問題になると、パターン⑤の因数分解のように、まだ計算が続くことがあります。



②x+5x+6などの「x+bx+c」の因数分解      因数分解

上のパターン①と違って、この因数分解は、数字では、くくることができません。文字もxでくくれそうに見えますが、6がxでは、くくれません。なので、別の知識が必要となります。

+bx+cのパターンは、足してb、かけてcになるような数の2組を見つけることができるかです。上の例だと、かけて6になるような数の2組は「1と6」や「2と3」があります。足して5にできそうなのは、「2と3」ですね。



③25-4xなどの「二乗-二乗」の因数分解
因数分解

このパターンも、数字や文字では、くくることができません。二乗-二乗の因数分解は、字のごとく、二乗の数になっている元の数を見つけることができるかがポイントです。

上の例なら、25は、5の二乗なので、5を口に、4xは、2xの二乗なので、2xを△に入れたらOKとなります。



④4x+12x+9などの「二乗+bx+二乗」の因数分解
因数分解

二乗+bx+二乗の因数分解は、上のパターン③の二乗-二乗と同じように、二乗になる数を見つけることができれば、それでほぼ完成です。

ただ、bxの部分のbの値が例の-4xように-の場合は、(口-△)の形になるので、注意が必要です。以上の4パターンが、特に重要な因数分解です。パターン⑤の因数分解から、応用問題となりますので、因数分解が苦手な人は、まず①~④のパターンをしっかり理解してください。


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⑤数字や文字でくくってから、パターン②~④になる因数分解
因数分解

パターン①の因数分解は、数字や文字でくくれば、そこで終了でしたが、このパターンの因数分解は、数字や文字でくくってからも計算が続きます。

因数分解の解き方の手順は、上で書いたように、

(1)数字でくくれるかどうか考える。 
        ↓
(2)a、x、yなど文字でくくれるかどうか考える。
        ↓
(3)パターン②~④が出たら、さらに因数分解する。


の3手順を守って解いてください。そして、パターン②~④がしっかり理解できていれば、このパターン⑤の因数分解もできるようになると思います。



⑥(x+y)a+(x+y)などの「文字Aに置き換える」と、パターン①~⑤になる因数分解
因数分解

この因数分解の解き方のコツは、文字Aなどを使って、因数分解できる形に言い変えることができるかです。上の例の式をよく見てください。

式を見ると、(x+y)a+(x+y)のように、x+yが同じ形になっていることがわかると思います。このような式を因数分解するときは、同じ形になっている部分をまずAと置き換えてください。

上の例では、x+y=Aや、a+b=Aのように、文字Aで置き換えましたが、置き換える文字は、自分の好きな文字や見やすい文字でよろしいです。教科書は、よくMを使って置き換えています。

とにかく因数分解の問題で同じ形や同じ形の二乗が出てきたら、文字で置き換えてみてください。文字でうまく置き換えることができたら、必ず上の①~⑤の因数分解のパターンになっているはずです。

後は、それぞれ①~⑤のパターンの因数分解をすればいいだけです。ただ、注意する点が1つあります。最後に置き換えた文字Aをもとの形に戻すことを忘れないようにしてください。

上の例なら、Aをx+yに戻さないと、せっかく正解までもう少しなのに、結局0点となってしまいます。このAを元の形に戻すのを忘れてしまうミスが多いので、皆さんも注意してください。



⑦ax+ay+x+yなどの「自分の力で式を変形し、文字Aに置き換える」因数分解
因数分解

このパターン⑦の因数分解が、一番難しいと個人的に思います。このパターンは、まず与えられた式を、文字でくくるなどして、文字Aに置き換えられるように変形しないといけない難問です。

例えば、ax+bx+x+yは、a(x+y)+x+yと変形することで、ようやくx+y=Aと置き換えることができます。このように、自分の力で、式を変形し、文字Aで置き換えることができる工夫をするのが最大のポイントです。

このパターンの因数分解は、非常に難しい問題ですので、余裕がある人のみ挑戦してください。数学が苦手な方は、まずパターン①~④の因数分解の理解を徹底するのが大切です。



⑧(x-y)-(a-b)などの「文字AとBに置き換える」因数分解因数分解

このパターン⑧で、中学生レベルで出題される因数分解のほぼ全部が終わりです。お疲れ様でした。問題集の因数分解の問題は、上で紹介したパターン①~⑧のどれかに似ているはずです。

問題集の因数分解の問題を見て、どのパターンに当たるのか意識して解いてみてください。難しい問題のほとんどは、文字Aに置き換えることで、パターン①~④の因数分解の形になるはずです。



※リクエストをいただいた因数分解の問題
因数分解、問題

コメント欄「イカ」さんより、因数分解の質問をいただきましたので、解説させていただきます。この問題は、パターン⑦と同じで、自分の力で式を変形していくパターンです。この問題を解くためのポイントは2つです。

1つ目は、x-4xy+4yが(x-2y)に因数分解できることに気づくこと。2つ目は、x-2y=Aとおけば、パターン②の形になり因数分解ができる形になるということです。この2点に気づけないと解くことができない難問ですね。


因数分解は、高校の数学でも使う超重要分野なので、因数分解が苦手な方も、最低パターン①~④の因数分解までは、ぜひマスターしてください。

なお、高校生の方は、先ほど言ったように数学Ⅰで因数分解をまた習いますので、この記事と、たすきがけのやり方!これで因数分解ができまくる!も読んでいただけたら幸いです。