絶対値は、中学校の数学の時間に習いますが、皆さんは得意ですか?私は高校生の時、「絶対値」が、とても苦手な分野でしたし、絶対値の等式の計算や不等式の計算、絶対値の外し方がよくわかりませんでした。

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ここでは、私のように絶対値の計算が苦手な方や意味不明な方に、できるだけ簡単に解説していこうと思います。まず、絶対値が嫌いとか苦手な方に一言、


「中学で習う絶対値はとても簡単」、

「高校で習う絶対値は、外し方を覚えれば意外と簡単」



という呪文を言っておきましょう。絶対値は私も含め、多くの子が苦手なので、ぜひマスターしてください。逆に言うと、絶対値が得意になると、他の子との差を広げられるチャンスになりますよ。



■絶対値とは、その点までの距離のこと

まず、絶対値の意味からです。絶対値は、「数直線上で、原点からある数までの距離のこと」といったようなことが教科書には書いてあります。皆さん、絶対値の意味がわかりますか?

要するに、「絶対値=原点からの距離」だと思ってくれればよいです。もっと絶対値の意味がわかるように、下の数直線で解説していきます。

絶対値

A地点が+3の所にあり、B地点が-4の所にあることがわかりますね。ここで、A地点までの距離(絶対値)はいくつですか?と言われたら、A地点は原点Oから3つ離れているから、「3」といいますよね。

数学では、A地点までの距離(絶対値)を聞くときに、


+3の絶対値は?

とか

絶対値の記号である||を使って、|+3|はいくつですか?


と聞いたりします。表し方が違うだけでどちらも同じ意味です。つまり、


+3の絶対値=原点から+3までの距離はいくらか?と聞いている=3

|+3|=原点から+3までの距離はいくらか?と聞いている=3 


よって、+3の絶対値=|+3|=3 となります。なお、|+3|と書かずに|3|と書かれていても同じ意味になります。


では次に、B地点までの距離(絶対値)はいくつですかと言われたら、B地点は、原点から4つ離れているから、「4」といいますよね。ここで、「-4」と言わないように注意してください。

距離(絶対値)は普通マイナスの値になりません。例えば、自宅から学校までの距離を-4kmなどとは言いませんよね。それと同じことです。


数学では、B地点までの距離を聞くときに、


-4の絶対値は?

とか

絶対値の記号である||を使って、|-4|はいくつですか?


と聞いたりします。やはり先ほどと同じように表し方が違うだけでどちらも同じ意味です。つまり、


-4の絶対値=原点から-4までの距離はいくらか?と聞いている=4

|-4|=原点から-4までの距離はいくらか?と聞いている =4 



よって、-4の絶対値=|-4|=4 となります。「絶対値=原点からの距離」の意味がわかりましたでしょうか?

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■絶対値の計算の解き方(中学校レベル)

中学校で習う絶対値の計算問題は、次の3パターンが多いです。


例① 3の絶対値を求めなさい。

例② |-4|を計算しなさい。

例③ |2-8|を計算しなさい。


以上のような問題が出題されやすいので、これらの問題が解けるようになったらいいわけです。なお、中学校で習う絶対値の計算の解き方は、最初にも言ったように、「とても簡単」です。

絶対値の計算は簡単

上の例①~③の問題なんか、コツを知っていれば5秒で解けます。


早速①~③の答えを書くと、

例① 3の絶対値を求めなさい。 ⇒ 3 (答え)

例② |-4|を計算しなさい。 ⇒ 4 (答え)

例③ |2-8|を計算しなさい。 ⇒ 6 (答え)


要するに、答えをすべてプラスにすればいいだけです。それがコツです。そのコツを知っていれば、本当に5秒で解けると思います。なお、③の|2-8|は、


|2-8|=|-6|=6


のように、||の中の2-8が計算できるので、それを計算してから答えを出せばOKです。他にも絶対値の問題をいくつかあげておきます。


① 7の絶対値を求めなさい。 ⇒ 7 (答え)

② -7の絶対値を求めなさい。 ⇒ 7 (答え)

③ -1.87の絶対値を求めなさい。 ⇒ 1.87 (答え)

④ |25|を計算しなさい。 ⇒ 25 (答え)

⑤ |-7.6|を計算しなさい。 ⇒ 7.6 (答え)

⑥ |9-17|を計算しなさい。 ⇒ |-8|= 8 (答え)

⑦ |2-7.6|を計算しなさい。 ⇒ |-5.6|= 5.6 (答え)


どうでしょうか?中学校で習う絶対値の問題は答えをすべてプラスにすればいいだけです。なぜ答えをすべてプラスにしないといけないかというと、絶対値=原点の距離だからです。詳しくは上の「絶対値とは~」を見てください。



■絶対値記号||の外し方(高校生レベル)

高校で習う絶対値の問題は、アホみたいに多く、学校のテストはもちろん、センター試験や二次試験などでも、とても出題されやすいです。

そんな出題されやすい絶対値なのですが、「とにかく難しい!」、「苦手だ」というイメージをもっている人が多いのではないでしょうか?

私も高校生の時は、絶対値が本当に意味不明でした。とりあえず中学校で習ったように、プラスにしとけばなんとかなる!と思っていた時代が今では、なつかしいです。

絶対値、計算

さて、本題に入ります。高校の数Ⅰの教科書には、絶対値記号||の外し方が、大体次のように書いてあると思います。


a≧0のとき、|a|=a

a<0のとき、|a|=-a


これの意味がわかる人なら、絶対値の問題は解けると思いますが、当時、高校生だった私には、aとかの意味がちんぷんかんぷんでした。訪問していただいている皆さんはどうでしょうか?

教科書の公式のほとんどは、aやxなどの文字で書いてあるため、数学が苦手や嫌いな人からすると、非常にわかりにくいのではないでしょうか?

そこで、この文字で書いてあることがわからない人に、絶対値記号||の外し方のコツです。それは、以下の2つのルールを覚えるだけです。


ルール① ||の中の値がプラスなら、||をそのまま外してもよい!

ルール② ||の中の値がマイナスなら、中の値の+と-符号をすべて逆にして、||を外せばよい!


これを覚えれば、高校生レベルの絶対値の問題も意外に簡単に解けるんですよ!それでは、このルールで、絶対値の計算問題を解説していきます。


例1 |7|を計算してみよう。

|7|の||の中の値は、7ということで、明らかにプラスの値ですね。なので、ルール①により、||をそのままはずしてもよいので、


|7|= 7 (答え)



例2 |-27|を計算してみよう。

|-27|の||の中の値は、-27で、明らかにマイナスの値ですね。なので、ルール②により、||の中の符号を逆にして、||を外せばOKです。つまり、-27の符号は-なので、それを+に変えて||を外すだけです。

|-27|=+27= 27 (答え)


ここまでは、中学レベルの計算なので、このルールを知らなくても解ける人が多いと思います。それでは、例3から、いよいよ高校生レベルの計算です。



例3 |π+2|を計算してみよう。

まず、πは、円周率(約3.14)のことです。 |π+2|の||の中の値は、π+2で、これを計算すると、3.14+2=5.14ということで、明らかにプラスの値ですね。なので、ルール①により、||をそのままはずしてもよいので、


|π+2|= π+2 (答え)


この問題のように、||の中が、プラスの値なら、||をそのまま外すという、ルール①の意味がわかってきたでしょうか?



例4 |6-2π|を計算してみよう。

|6-2π|の||の中の値は、6-2πで、これを計算すると、6-2・3.14≒-0.2ということで、||の中がマイナスの値ですね。なので、ルール②より、||の中の値の符号をすべて逆にして、||を外せばOKです。

つまり、||の中の6-2πの符号をすべて逆にすると、-6+2πです。よって、|6-2π|の絶対値記号||を外すと、


|6-2π|= -6+2π (答え)


この問題のように、||の中が、マイナスの値なら、||の中の符号をすべて逆にして外すという、ルール②の意味がわかりましたでしょうか?

近々、他の絶対値の計算問題も公開します。

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