こんにちは、三重の家庭教師です。今回は、二次方程式の解き方について、解説していこうと思います。二次方程式の解き方は、中学三年生の一学期に習う学校が多く、二学期の中間テストに出題されることが多い分野です。

しかも、二次方程式は、高校生になっても非常によく使う分野です。苦手になると、高校生のときに苦労するので、この夏休みの間に二次方程式の解き方をぜひマスターしておきましょう。

まず二次方程式の解き方を一言で言うと、「パターン」です。因数分解の解き方!中学3年生の方は、必見!で紹介した因数分解と同じで、二次方程式の解き方には、「このような問題には、このように解く」みたいなパターンがあります。

二次方程式

なので、以下の計算問題を参考に、二次方程式の解き方のパターンを覚えていってください。ここに書いてある二次方程式の解き方をマスターすれば、ほとんどの二次方程式の計算は解けるようになります。

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それでは、二次方程式の解き方のパターンやコツ、やり方を下にまとめていきます。



①x=16の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方

この二次方程式が、一番最初に習うことが多いパターンです。よくやってしまうミスが二つあり、一つ目は、±をつけるのを忘れる。二つ目は、計算が続くのにそこで終わってしまう。上の例なら、ルート16を答えにしてしまうと間違いまたは減点になりますので、注意してください。


【他の二次方程式の計算例】  x=4、 x=9、 x=18 など

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②x-8=0の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方

このパターンは、 =数字の形にするために、右辺への移項が必要な問題です。移項をしてしまえば、上のパターン①と同じ形になり、解くことができます。


【他の二次方程式の計算例】  x-4=0、 x-12=0、 x=18 など



③3x-18=0の二次方程式の解き方
二次方程式の計算

このパターンの問題は、途中までは、中学一年生で習う3x-18=0を解くような感じで進めます。両辺を3で割れば、またパターン①の形になるので、パターン①の解き方がとにかく大切ということがわかります。

なお、ルート6はこれ以上計算ができないので、ルート6が答えとなります。最後の計算ができるかできないかが二次方程式の解き方でやっかいなポイントとなります。


【他の二次方程式の計算例】  2x=4、 3x=9、 5x-20=0 など



④3x-16=0の二次方程式の解き方
二次方程式、解き方

パターン③の3x-18=0と同じように見えますが、数字が少し変わると、計算量がこのように増えるパターンもあります。x=〇にしたとき、〇が分数になるときは、約分や有理化が必要なことが多いので、計算を中途半端なところで終わらないように注意しましょう!


【他の二次方程式の計算例】  3x=4、 4x-9=0、 4x-13=5 など



⑤(x-5)-8=0の二次方程式の解き方
二次方程式、計算

この計算問題は、( )を展開せずに、( )の二乗をはずして、パターン①のように、±をつけてルートかぶせるのがポイントです。ちなみに、( )を展開しても解けますが、このやり方の方が速く解けます。


【他の二次方程式の計算例】  (x-4)=5、 (x+3)=12、 (x+1)-18=0 など

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⑥(x-5)-16=0の二次方程式の解き方
二次方程式、計算
このパターンは上の⑤と同じようなパターンです。ポイントは、x=±4+5の計算を、4+5、-4+5として、計算を続けていく必要があるというところです。


【他の二次方程式の計算例】  (x-4)=4、 (x+3)=9、 (x+1)-25=0 など



⑦3(x-5)-9=0の二次方程式の解き方
二次方程式、計算、解き方
両辺を3で割るという作業がいるのが、上のパターン⑤と⑥と違う点ですが、(x-5)=3の形にしてしまえば、パターン⑤と同じです。


【他の二次方程式の計算例】  3(x-4)=15、 2(x+3)=6、 5(x+1)-18=0 など



⑧(x-8)(x+3)=0の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方や計算

(x-8)(x+3)=0のように、(A)(B)=0のタイプの問題は、すべての二次方程式の計算問題の中で一番簡単に解ける問題だと思います。

なぜなら、(A)(B)=0のタイプの問題は、A=0、B=0とすれば良いだけです。つまり、( )の中は、x-8とx+3なので、x-8=0、x+3=0とすればOKです。

(A)(B)=0のタイプの問題は、A=0、B=0とするだけなので、二次方程式の計算が苦手な方は、この問題を一番最初にできるようになってください。

【他の二次方程式の計算例】  (x-3)(x+1)=0、 (x+5)(2x+3)=0、 (2x+1)(4x-1)=0 など



⑨x-x-6=0の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方、計算

この二次方程式の解き方のポイントは因数分解ができるところです。なので、因数分解がわからない人は因数分解の解き方!中学3年生の方は、必見!で紹介した因数分解をまず参考にしてください。

因数分解ができれば、上のパターン⑧と同じ形になるので、簡単に解を出すことができます。ちなみに、因数分解がどうしてもわからない人は解の公式を使って出す方法もあります。


【他の二次方程式の計算例】  x-5x+4=0、 x+x-2=0、 x-9x+18=0 など



⑩x-6x+9=0の二次方程式の解き方
二次方程式

上のパターン⑨と同じように見えますが、違いがわかりますか?その違いは、因数分解すると、(x-3)=0となり、( )=0という形になるところです。( )=0の形になると、どうしたらいいかわからなくなる子もいます。

しかし、よく考えると、(x-3)=0は、(x-3)(x-3)=0と同じ意味なので、結局パターン⑧のように解いたらいいんです。よって、画像のように、x-3=0を解けば終わりです。

ここで、うっかり x-3=0、x-3=0より、解はx=3、3としてしまう子がよくいるのですが、わざわざ同じ答えを二回も書かなくてOKです。つまり、答えはx=3としてください。


【他の二次方程式の計算例】  x-4x+4=0、 x+2x+1=0、 x-8x+16=0 など


⑪x-3x=0の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方

このタイプの問題は、答えの一つが必ず0になるのですが、この0を書くのを忘れる子が非常に多いです。x=0がどこから出てくるのか疑問に思う子もいると思いますので少し補足しておきます。

画像の二行目のx(x-3)=0は無理やり( )( )=0の形に言い変えると、(x-0)(x-3)=0と考えることができ、これはパターン⑧と同じで、x-0=0、x-3=0と考えればOKなので、解はx=0、3となるんです。


【他の二次方程式の計算例】  x-5x=0、 x+x=0、 4x-9x=0 など



⑫3x-5x+1=0の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方、解の公式

パターン⑨~⑪とは違って、因数分解ができない二次方程式の問題は、解の公式を使います。解の公式を使いこなすポイントは二つあります。

一つ目は、必ずax+bx+c=0のように、右辺を0にすることです。解の公式を使うには、必ず3x-5x+1=0のように、右辺が0になっていないとダメです。つまり、3x-5x+1=4などの形では、右辺が0じゃないので、解の公式はまだ使えません。

二つ目は、a、b、cの値を間違えないことです。3x-5x+1=0のaの値はxの前の数の3bの値はxの前の数の-5cの値は1というように、しっかり代入する値を見極めましょう。

色々なパターンを紹介してきましたが、この解の公式さえ使いこなすことができれば、色んなパターンを覚えなくても、二次方程式の問題はすべて解くことができます。


【他の二次方程式の計算例】  x-x-1=0、 2x+3x-1=0、 3x-4x-1=0 など



⑬2x-x-1=0の二次方程式の解き方
解の公式

上のパターン⑫と同じで、因数分解ができない二次方程式なので、解の公式を使います。このとき、bの値はxの前の数ですが、-xなので、bの値は-1になることに注意しましょう。


【他の二次方程式の計算例】  3x-2x-1=0、 2x+3x+1=0、 2x-7x-6=0 など



⑭x-4x-6=0の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方

この問題も、因数分解ができない二次方程式なので、解の公式を使って解いていきます。このとき、aの値はの前の数ですが、1が省略されているので、aの値は1になることに注意しましょう。

この問題のポイントは、計算の最後の方で、分子に4と2√10が出てきて、どちらも2で割れるので、分母の2で約分しないといけないところが大切です。


【他の二次方程式の計算例】  x-2x-4=0、 x+4x-6=0、 x-6x-1=0 など



⑮3(x-2)(x+2)=-(x-3)の二次方程式の解き方
二次方程式の解き方

この問題で、二次方程式の解き方も最後です。最後の二次方程式の問題は、最初に展開をする必要があるパターンです。

つまり、3(x-2)(x+2)=-(x-3)のままでは、今まで解いてきた形ではないので、とりあえず、展開をして、今まで解いたことのあるパターンに変形するというのがポイントです。

展開していくと、4x-6x-3=0になるので、この形になれば、パターン⑭と同じになります。この展開してからのタイプの問題は計算していくと、必ずパターン①~⑭のどれかになるはずです。

なお、4x-6x-3=0の計算ですが、この計算も最後の方で、分子に6と2√21が出てきて、どちらも2で割れるので、分母の8と約分しないといけないところが大切です。


【他の二次方程式の計算例】  3x-8x=-1、 x(x-9)=-3(x+3)、(x+7)(x-9)=-15 など