三重の家庭教師です。今回は「二次方程式の解の公式」を、問題を使って解説していこうと思います。解の公式は、中学数学、高校数学でたびたび使う非常に重要な公式です。

この解の公式を覚えると、x-4=0、x-x+1=0、2x-3x+1=0など、なんと全ての二次方程式を解くことができます。

そんな便利な解の公式がどのような公式かというと、

二次方程式、解の公式

という公式なんです!

この「解の公式」を見た感想はどうでしょうか?おそらく「めっちゃ複雑で、覚えにくいー」と思った人が多いと思います。私も「解の公式」を初めて見た時は、「うわ、面倒くさ!こんなの覚えられねー」と思っていました。

皆さんなら、この複雑な解の公式をどのように覚えますか?例えば、ネットで「解の公式 覚え方」と検索すれば、解の公式の覚え方や語呂合わせが色々出てくると思います。

その語呂合わせで覚えられたら良いと思いますが、個人的には、解の公式は語呂合わせを覚えるより、何回も公式を読み上げて、問題を解きながら使いこなせるようにした方が覚えやすいと思います。

なので、私は「にーえーぶんの、まいなすびー、ぷらまいルートびーの二乗まいなすよんえーしー」と連呼しながら、問題を解きまくるのが良いと思っています。

特に最初のうちは、解の公式をそのまま覚えるよりも、下の画像のように、使い方(数字の代入の仕方)の理解を優先するのが良いと思います。

二次方程式 解の公式
       
なぜなら、解の公式の使い方さえわかってきたら、問題が解けるようになり、気がつかないうちに自然に解の公式を覚えることができると思います。どこの部分に何を代入すれば良いのかをまず理解しましょう!

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それでは、解の公式の使い方を問題を使って解説していきます。解の公式を使う時に大切なポイントは次の2点です。


ポイント① aとbとcの値が何かわかること。

ポイント② aとbとcの値を解の公式に代入して計算できること。


この2点ができれば、解の公式を使いこなすことができます。なので、まずこの2点を意識して下の問題を読んでいただけたらと思います。


問題  3x+5x+1=0を解いてみよう。

解の公式 覚え方

まず、上のポイント①にも書いたように、「aとbとcの値が何か?」がわからないといけません。aとbとcの値は、問題の3x+5x+1=0を見ればわかります。

aの値は、xの前についている数字のことです。上の画像のように、xの前には、がついているので、a=3です。bの値は、xの前についている数字です。xの前には、+5がついているので、b=5です。

最後にcの値は、xがついていない部分の+1です。なのでc=1です。このように、解の公式を使うには、まずa、b、cの値を求めることから始まります。

そしてa、b、cの値がわかったら、後はポイント②の解の公式に代入するだけですね。

解の公式

解の公式の分母は2aなので、まずa=3を代入して、分母は2×3となります。次に分子の一番左は、-bなので、bの値の符号を逆にした数が入ります。この問題ではb=5なので、符号を逆にして-5を入れます。

最後は、√の中のb-4acにa=3、b=5、c=1を代入して計算すればOKです。bはb×bなので、5×5=25、4ac=4×a×cなので、4×3×1=12ですね。後は、画像のように計算するだけです。

このように、aとbとcの値がわかれば、後は解の公式にそれぞれの値を代入して計算できるかどうかが勝負となります。まず、aとbとcの代入する位置をしっかり覚えましょう。


最初に「解の公式の覚え方は、公式を読み上げながら、問題を解きまくることだ!」と言いましたので、下にいくつか問題を紹介しておきます。下に行けば行くほど、問題がレベルアップしていきますので、順番にチャレンジしていただけたらと思います。

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問題  x-5x+2=0を解いてみよう。

解の公式の問題

解の公式は主に、因数分解ができない二次方程式の問題のときに使います。なので、問題を見た時に、「因数分解ができそうになければ解の公式を使う!」と覚えておくと良いと思います。

さて、この問題のaの値はわかりますか?先ほど説明したように、aの値はxの前の数のことですが、xの前には数字がありませんね。しかし、の前の数字は1が隠れていることを意味します。

数学では、「やxなどの文字の前には、1は書かずに省略する」というルールがあります。なので、この問題のaの値は1になることに注意しましょう。

また、分子の一番左は-bなので、bの値の符号を逆にした数が入ります。この問題ではb=-5なので、符号を逆にした5(+5)が最終的に分子の一番左の値になります。



問題  2x-x-1=0を解いてみよう。
解の公式

この問題はbの値が注意です!bの値はxの前の数ですが、-xなので、bの値は-1になることに注意しましょう。そして、計算していくと、√の中が√9となり、√9=3のように、計算がさらに続くことにも注意が必要です。

二次方程式の難しい問題は、この問題のように計算が結構続くことが多いです。ここの問題から平方根の知識が必要になりますので、√の外し方がよくわからない方は、平方根の計算!平方根のチョー簡単な問題をまとめたよ!を読んでみてください。  



問題  -4x-6=0を解いてみよう。
二次方程式の解き方

まず、aの値はの前の数ですが、1が省略されているので、aの値は1になることに注意しましょう。そして、もう一つの注意点が、計算の最後の方で、分子に4と2√10が出てきて、どちらも2で割れるので、分母の2で約分しないといけないところが大切です。

先ほどの問題と同じで、この問題も「どこまで計算できるのか?どこまで計算しないといけないのか?」に注意して、読んでいただけたらと思います。



問題  3(x-2)(x+2)=-(x-3)を解いてみよう。

二次方程式の解き方

この問題で最後です。最後の解の公式を使う問題は、最初に展開をする必要があるパターンです。3(x-2)(x+2)=-(x-3)のままでは、解の公式は使えません。

解の公式は、必ずax+bx+c=0のように、右辺を0にしないといけません。つまり、解の公式を使うには、必ず4x-6x-3=0のように、右辺が0になっていないとダメです。

なので、この問題の3(x-2)(x+2)=-(x-3)3x-5x+1=4などの形では、右辺が0じゃないので、右辺を0にするように計算していきます。

この問題は展開していくと、最終的に4x-6x-3=0になるので、この形になれば、ようやく解の公式が使えるということになります。

なお、4x-6x-3=0の計算ですが、この計算も最後の方で、分子に6と2√21が出てきて、どちらも2で割れるので、分母の8と約分しないといけないところが大切です。


以上で、「二次方程式の解の公式」の解説を終わります。解の公式を使う問題を5問紹介しましたが、公式の暗記や使い方ができるようになりましたか?

なかなか覚えにくい公式だと思いますが、これから非常に使う機会が多い公式なので、たくさん問題練習をして余裕で使いこなせるまで練習してください。

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